Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema

$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x-y-z=0\\ 3x-3y-3z=0\end{array}$

justifica que es un sistema compatible e indeterminado. (1 punto)

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. La matriz de coeficientes y la ampliada son

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& -1\\ 3& -3& -3\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& -1& -1& 0\\ 3& -3& -3& 0\end{array}\right)$

El sistema es homogéneo, es decir, todos los términos independientes son nulos. Por eso la columna que se añade en la ampliada es de ceros y no puede aumentar el rango:

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })$

de modo que un sistema homogéneo es siempre compatible (al menos tiene la solución trivial $x=y=z=0$).

Falta ver que el rango es menor que el número de incógnitas. La tercera fila es la segunda multiplicada por 3,

$(3,-3,-3)=3\cdot (1,-1,-1)$

así que las tres filas no son independientes y $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$. Pero hay un menor de orden dos no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\mid =-1-1=-2\mathrm{\ne }0$

Por tanto

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

y el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de $3-2=1$ parámetro.

Se pueden escribir esas soluciones. Sumando las dos primeras ecuaciones:

$(x+y+z)+(x-y-z)=0\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$

y entonces la primera queda $y+z=0$, es decir, $y=-z$. Llamando $z=\lambda$:

$x=0;y=-\lambda ;z=\lambda ,\lambda \in \mathbb{R}$