Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema con el parámetro $a$:

$\{\begin{array}{l}x+z=1\\ x-y+z=0\\ x+y+az=0\end{array}$

a) Clasificar el sistema en función de los distintos valores del parámetro $a$.
b) Resolver el sistema para $a=-1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Clasificar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{distintos}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. Las matrices del sistema son

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 1& -1& 1& 0\\ 1& 1& a& 0\end{array}\right)$

Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& a\end{array}\mid -0+1\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\mid =(-a-1)+(1+1)=1-a$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow 1-a=0\Rightarrow a=1$

Primer caso: $a\mathrm{\ne }1$.

Entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Segundo caso: $a=1$.

Hay un menor de orden dos no nulo,

$\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$

y como $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$ resulta $\text{rg}(A)=2$. Se orla ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\mid =1\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\mid =1+1=2\mathrm{\ne }0$

Luego $\text{rg}(A^{\ast })=3\mathrm{\ne }2=\text{rg}(A)$ y el sistema es incompatible.

En resumen: para $a\mathrm{\ne }1$ el sistema es compatible determinado y para $a=1$ es incompatible.



Con $a=-1$ se tiene $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1-(-1)=2\mathrm{\ne }0$, luego hay solución única. El sistema queda

$\{\begin{array}{l}x+z=1\\ x-y+z=0\\ x+y-z=0\end{array}$

De la primera ecuación, $z=1-x$. Se sustituye en la segunda:

$x-y+(1-x)=0\Rightarrow 1-y=0\Rightarrow y=1$

Y en la tercera:

$x+1-(1-x)=0\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$

$z=1-0=1$

Se comprueba en la segunda ecuación:

$0-1+1=0$

La solución es $x=0$, $y=1$ y $z=1$.