Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema con los parámetros $a$ y $b$:

$\{\begin{array}{l}ax+2y+z=1\\ x+by+2z=4\\ 3x+y+bz=5\end{array}$

Resolver el sistema para $a=1$ y $b=-2$. (1.5 puntos)

Con $a=1$ y $b=-2$ el sistema queda

$\{\begin{array}{l}x+2y+z=1\\ x-2y+2z=4\\ 3x+y-2z=5\end{array}$

Antes de resolver conviene comprobar que tiene solución única:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& -2& 2\\ 3& 1& -2\end{array}\mid =1(4-2)-2(-2-6)+(1+6)=2+16+7=25\mathrm{\ne }0$

El sistema es compatible determinado. Se resuelve por sustitución. De la primera ecuación:

$x=1-2y-z$

Se sustituye en la segunda:

$(1-2y-z)-2y+2z=4\Rightarrow 1-4y+z=4\Rightarrow z=3+4y$

Se sustituye ahora en la tercera:

$3(1-2y-z)+y-2z=5\Rightarrow 3-6y-3z+y-2z=5\Rightarrow -5y-5z=2$

$y+z=-{\displaystyle \frac{2}{5}}$

Y con $z=3+4y$:

$y+3+4y=-{\displaystyle \frac{2}{5}}\Rightarrow 5y=-{\displaystyle \frac{2}{5}}-3=-{\displaystyle \frac{17}{5}}\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{17}{25}}$

Se deshace el camino:

$z=3+4(-{\displaystyle \frac{17}{25}})=3-{\displaystyle \frac{68}{25}}={\displaystyle \frac{7}{25}}$

$x=1-2(-{\displaystyle \frac{17}{25}})-{\displaystyle \frac{7}{25}}=1+{\displaystyle \frac{34}{25}}-{\displaystyle \frac{7}{25}}={\displaystyle \frac{52}{25}}$

Se comprueba en la primera ecuación:

${\displaystyle \frac{52}{25}}+2(-{\displaystyle \frac{17}{25}})+{\displaystyle \frac{7}{25}}={\displaystyle \frac{52-34+7}{25}}={\displaystyle \frac{25}{25}}=1$

La solución del sistema es $x={\displaystyle \frac{52}{25}}=\mathrm{2,08}$, $y=-{\displaystyle \frac{17}{25}}=-\mathrm{0,68}$ y $z={\displaystyle \frac{7}{25}}=\mathrm{0,28}$.