Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

i) Clasifique el siguiente sistema en función del número de soluciones y resuélvalo utilizando el método de Gauss.

$\{\begin{array}{l}x-y+z=3\\ 2x+y+z=4\\ 3x+3y+z=5\end{array}$ (7 puntos)

ii) Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 2& 3\\ 4& 1& -2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}-7& -1& 2\\ 12& 2& -3\\ -8& -1& 2\end{array}\right)$, calcule $AB$ e indique qué relación hay entre $A$ y $B$. (3 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Clasifique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{utilizando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Gauss.}}(7\text{ puntos})$

Se escribe la matriz ampliada del sistema y se triangula.

$\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 3\\ 2& 1& 1& 4\\ 3& 3& 1& 5\end{array}\right)$

Se hacen ceros en la primera columna con $F_2-2F_1$ y $F_3-3F_1$:

$\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 3\\ 0& 3& -1& -2\\ 0& 6& -2& -4\end{array}\right)$

La tercera fila es el doble de la segunda, así que con $F_3-2F_2$ desaparece:

$\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 3\\ 0& 3& -1& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

El rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada valen los dos 2, y el número de incógnitas es 3:

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

Se toma $z=\lambda$ y se despeja de abajo arriba.

De la segunda ecuación:

$3y-\lambda =-2\Rightarrow y={\displaystyle \frac{\lambda -2}{3}}$

De la primera:

$x-y+\lambda =3\Rightarrow x=3+{\displaystyle \frac{\lambda -2}{3}}-\lambda ={\displaystyle \frac{9+\lambda -2-3\lambda }{3}}={\displaystyle \frac{7-2\lambda }{3}}$

La solución del sistema es

$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{7-2\lambda }{3}}\\ y={\displaystyle \frac{\lambda -2}{3}}\\ z=\lambda \end{array}\text{con }\lambda \in \mathbb{R}$



Las dos matrices son cuadradas de orden 3, así que el producto existe y es de orden 3.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 2& 3\\ 4& 1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-7& -1& 2\\ 12& 2& -3\\ -8& -1& 2\end{array}\right)$

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}-7+0+8& -1+0+1& 2+0-2\\ 0+24-24& 0+4-3& 0-6+6\\ -28+12+16& -4+2+2& 8-3-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

El producto es la matriz identidad de orden 3, y lo mismo ocurre al multiplicar en el otro orden, $B\cdot A=I$.

Por definición de matriz inversa, $B=A^{-1}$: las dos matrices son inversas una de la otra.