Examen de Matemáticas CCSS de Navarra 2020 (convocatoria extraordinaria)

i) Clasifique el siguiente sistema en función del número de soluciones y resuélvalo utilizando el método de Gauss.

$\{\begin{array}{l}x-y+z=3\\ 2x+y+z=4\\ 3x+3y+z=5\end{array}$ (7 puntos)

ii) Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 2& 3\\ 4& 1& -2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}-7& -1& 2\\ 12& 2& -3\\ -8& -1& 2\end{array}\right)$, calcule $AB$ e indique qué relación hay entre $A$ y $B$. (3 puntos)

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+3x+4}{x}}$

i) Calcule los máximos y mínimos. (3 puntos)

ii) Calcule ${\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)dx}$ (4 puntos)

iii) Calcule la derivada de la función $g(x)$, siendo $g(x)=f(x)+\ln (5x-3{)}^2+x{e}^{3x}$ (3 puntos)

El peso (en toneladas) de los contenedores que transporta una empresa de servicios de transporte marítimo puede aproximarse a una distribución normal con desviación de 3 toneladas.

i) Se realizó un estudio tomando una muestra aleatoria simple de contenedores y se calculó un intervalo de confianza al 97% para la media poblacional, con un error máximo de 0.651. Calcule el tamaño de la muestra que se tomó en ese estudio. (5 puntos)

ii) Se decide realizar otro estudio y se selecciona una muestra de contenedores, obteniéndose los siguientes pesos (en toneladas): 20.25, 17.5, 21.8, 15.7, 14.6, 17.2, 23.1, 11.7, 18.3. Construya un intervalo de confianza para el peso medio de los contenedores, con un nivel de confianza del 93%. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)

Una empresa diseña y vende dos tipos de telas (T1 y T2) con un precio de venta de 60 euros/m² y 100 euros/m², respectivamente. Para cubrir la demanda semanal debe fabricar un total de al menos 15 m² de telas. Para elaborar un m² de tela T1 se necesitan 2 horas de máquina y 6 carretes de hilo. Para elaborar un m² de tela T2 se requieren 4 horas de máquina y 3 carretes de hilo. La disponibilidad semanal de estos dos recursos es de 80 horas de máquina y 150 carretes de hilo. ¿Cuántos m² de cada tipo de tela tiene que vender la empresa si busca maximizar el beneficio semanal, sabiendo que el coste de elaborar un m² de cada tipo de tela es 15 y 10 euros, respectivamente?

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si se quiere elaborar al menos el triple de m² de tela T1 que de tela T2. (2 puntos)

Considere la siguiente función definida a trozos:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-x^2& x\le 1\\ x^2-6x+5& 1<x<4\\ 2x-11& x\ge 4\end{array}$

i) Calcule las derivadas laterales de $f(x)$ en $x=4$, utilizando la definición de derivada. (4 puntos)

ii) ¿La función $f(x)$ es derivable en $x=4$? ¿Es continua en $x=4$? Justifique la respuesta. (2 puntos)

iii) Calcule la siguiente integral: ${\displaystyle \int \sqrt{6x-1}dx}$ (4 puntos)

En un centro de bachillerato aprobaron la prueba de acceso a la universidad 112 estudiantes de los 140 que se presentaron. En un segundo centro aprobaron la prueba el 60% de los 110 estudiantes presentados.

i) Se selecciona un estudiante al azar. Calcule la probabilidad de que haya aprobado. (3 puntos)

ii) Se selecciona un estudiante al azar. Calcule la probabilidad de que proceda del segundo centro, sabiendo que el estudiante ha suspendido. (4 puntos)

iii) Se seleccionan tres estudiantes al azar sin reemplazamiento. Calcule la probabilidad de que pertenezcan al mismo centro. (3 puntos)