Examen de Matemáticas CCSS de Navarra 2026 (convocatoria extraordinaria)

Una empresa fabrica dos modelos de patinetes eléctricos (P1 y P2), en tres plantas de producción (A, B y C).

Considere las matrices $M=\left(\begin{array}{cc}150& 100\\ 65& 55\\ 85& 70\end{array}\right)$, $P=\left(\begin{array}{c}250\\ 325\end{array}\right)$ y $H=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)$.

La matriz $M$ recoge información sobre el número de unidades de cada modelo fabricado en cada planta de producción. La matriz $P$ contiene el precio unitario de venta (en euros) de cada modelo de patinete, P1 y P2, respectivamente.

i) Indique la dimensión de la matriz $M$. Interprete el significado de su elemento $a_{21}$. (0.5 puntos)

ii) Calcule la matriz $H\cdot M$. Indique su dimensión y explique qué representan sus elementos en el contexto del problema. (0.75 puntos)

iii) Calcule, realizando la operación matricial necesaria, la matriz que refleje, para cada planta de producción, el ingreso obtenido por las ventas de ambos modelos de patinetes. ¿Qué planta es la que obtiene un menor ingreso y cuánto dinero ingresa? (1.25 puntos)

Tras un vertido accidental, el nivel de contaminación de un lago (en partes por millón, ppm) varía según el tiempo (en días) de acuerdo a la siguiente función:

$P(t)=\{\begin{array}{ll}{t}^2-8t+20& \text{si }0\le t\le 6\\ {\displaystyle \frac{12t-64}{t-5}}& \text{si }t>6\end{array}$

Responda a las siguientes cuestiones:

i) Demuestre que el nivel de contaminación es continuo en el sexto día. (0.75 puntos)

ii) ¿En qué momento de los primeros 6 días la contaminación fue mínima? ¿Qué nivel de contaminación se alcanzó? (1.25 puntos)

iii) Si no se realiza ninguna limpieza adicional, ¿a qué nivel de contaminación tenderá el lago de forma estable con el paso del tiempo? (0.5 puntos)

Un gobierno está preocupado por el absentismo laboral de sus empleados públicos. La duración de las bajas laborales en este sector sigue una distribución normal, con varianza 144 días${}^2$. A partir de una muestra de tamaño 36, se calculó el siguiente intervalo de confianza para la duración media (en días) de las bajas laborales de los empleados públicos: $[34.85,45.15]$.

i) Determine la media muestral y el error máximo cometido en la estimación. (0.5 puntos)

ii) Calcule el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta. (1.5 puntos)

iii) Interprete el intervalo de confianza en el contexto del problema. (0.5 puntos)

i) Resuelva gráficamente el siguiente problema de programación lineal y proporcione el valor de la solución óptima. (1.5 puntos)

$\text{Minimizar }f(x,y)=9x+6y\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}30x+20y\le 600\\ y\ge 2x\\ x\ge 5\\ y\ge 10\end{array}$

ii) Calcule la derivada de la función $f(x)=4+7x^3\cdot \cos (5x)+\ln (2x-5)$. (1 punto)

i) Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 19& 17\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}1& -6\\ 2& 2\end{array}\right)$, determine las matrices $X$ e $Y$ que son solución del siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

$\{\begin{array}{l}X+2Y=A^t\\ 3X-Y=B\end{array}$ (1.25 puntos)

ii) Calcule ${\displaystyle {\int }_0^4{\displaystyle \frac{5}{\sqrt{6x+1}}}dx}$. (1.25 puntos)