Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

i) Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 19& 17\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}1& -6\\ 2& 2\end{array}\right)$, determine las matrices $X$ e $Y$ que son solución del siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

$\{\begin{array}{l}X+2Y=A^t\\ 3X-Y=B\end{array}$ (1.25 puntos)

ii) Calcule ${\displaystyle {\int }_0^4{\displaystyle \frac{5}{\sqrt{6x+1}}}dx}$. (1.25 puntos)

Se resuelve el sistema por sustitución, tratando las matrices como incógnitas.

$\{\begin{array}{l}X+2Y=A^t\\ 3X-Y=B\end{array}$

De la segunda ecuación se despeja $Y$:

$Y=3X-B$

Se sustituye en la primera:

$X+2(3X-B)=A^t\Rightarrow X+6X-2B=A^t\Rightarrow 7X=A^t+2B$

$X={\displaystyle \frac{1}{7}}(A^t+2B)$

Se calcula la traspuesta de $A$ intercambiando filas por columnas:

$A^t=\left(\begin{array}{cc}5& 19\\ 10& 17\end{array}\right)$

$A^t+2B=\left(\begin{array}{cc}5& 19\\ 10& 17\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& -12\\ 4& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 7\\ 14& 21\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{cc}7& 7\\ 14& 21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$

Se sustituye en $Y=3X-B$:

$Y=3\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& -6\\ 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 6& 9\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& -6\\ 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 9\\ 4& 7\end{array}\right)$

Se comprueba en la primera ecuación:

$X+2Y=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& 18\\ 8& 14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 19\\ 10& 17\end{array}\right)=A^t$

Las matrices pedidas son $X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$ e $Y=\left(\begin{array}{cc}2& 9\\ 4& 7\end{array}\right)$.



Se escribe la raíz como una potencia de exponente fraccionario para integrar como una potencia:

${\displaystyle \frac{5}{\sqrt{6x+1}}}=5(6x+1{)}^{-1\mathrm{/}2}$

Se ajusta la constante multiplicando y dividiendo por 6, que es la derivada de $6x+1$:

$\int 5(6x+1{)}^{-1\mathrm{/}2}dx={\displaystyle \frac{5}{6}}\int 6(6x+1{)}^{-1\mathrm{/}2}dx={\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{(6x+1{)}^{1\mathrm{/}2}}{1\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{5}{3}}\sqrt{6x+1}$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

${\int }_0^4{\displaystyle \frac{5}{\sqrt{6x+1}}}dx={\left[{\displaystyle \frac{5}{3}}\sqrt{6x+1}\right]}_0^4={\displaystyle \frac{5}{3}}\sqrt{25}-{\displaystyle \frac{5}{3}}\sqrt{1}$

$={\displaystyle \frac{5}{3}}\cdot 5-{\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{25-5}{3}}={\displaystyle \frac{20}{3}}$

El valor de la integral es ${\displaystyle \frac{20}{3}}\approx \mathrm{6,67}$.