Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}a& -4& 0\\ 0& a& 1\\ 3& -1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ccc}-1& 5& 1\end{array}\right)$.

i) Determine los valores del parámetro $a$ para los cuales $A$ tiene inversa. (2 puntos)

ii) Para $a=2$, calcule la matriz inversa $A^{-1}$. (3 puntos)

iii) Para $a=2$, despeje y calcule la matriz $X$ que verifica la ecuación $XA+I=B^t\cdot C$, siendo $I$ la matriz identidad. (5 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathit{A}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}(2\text{ puntos})$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& -4& 0\\ 0& a& 1\\ 3& -1& 1\end{array}\mid =a\mid \begin{array}{cc}a& 1\\ -1& 1\end{array}\mid +4\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 1\end{array}\mid +0$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a(a+1)+4(0-3)=a^2+a-12$

Se busca cuándo se anula:

$a^2+a-12=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 7}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=-4\\ a=3\end{array}$

La matriz $A$ tiene inversa para todo valor de $a$ distinto de $-4$ y de $3$.



Con $a=2$ la matriz es

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -4& 0\\ 0& 2& 1\\ 3& -1& 1\end{array}\right)$

Se calcula la inversa por el método de los adjuntos.

1) El determinante, con la expresión del apartado anterior:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2^2+2-12=-6\mathrm{\ne }0$

2) La matriz de los adjuntos:

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 1\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 1\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}0& 2\\ 3& -1\end{array}\mid \\ -\mid \begin{array}{cc}-4& 0\\ -1& 1\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 1\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}2& -4\\ 3& -1\end{array}\mid \\ \mid \begin{array}{cc}-4& 0\\ 2& 1\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}2& -4\\ 0& 2\end{array}\mid \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 3& -6\\ 4& 2& -10\\ -4& -2& 4\end{array}\right)$

3) Su traspuesta:

${(\mathrm{Adj}(A))}^t=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& -4\\ 3& 2& -2\\ -6& -10& 4\end{array}\right)$

4) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{Adj}(A))}^t=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{ccc}3& 4& -4\\ 3& 2& -2\\ -6& -10& 4\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{ccc}-3& -4& 4\\ -3& -2& 2\\ 6& 10& -4\end{array}\right)$



Se despeja $X$. Como $A$ multiplica a $X$ por la derecha, hay que multiplicar por $A^{-1}$ también por la derecha.

$XA+I=B^{t}C\Rightarrow XA=B^{t}C-I\Rightarrow XA{A}^{-1}=(B^{t}C-I)A^{-1}$

$X=(B^{t}C-I)\cdot A^{-1}$

Se calcula el producto $B^{t}C$, de una matriz $3\times 1$ por una $1\times 3$, que da una matriz $3\times 3$:

$B^{t}C=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 5& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -2& 10& 2\\ 1& -5& -1\end{array}\right)$

$B^{t}C-I=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -2& 10& 2\\ 1& -5& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ -2& 9& 2\\ 1& -5& -2\end{array}\right)$

Se multiplica por la inversa calculada en el apartado anterior:

$X=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ -2& 9& 2\\ 1& -5& -2\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{ccc}-3& -4& 4\\ -3& -2& 2\\ 6& 10& -4\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{ccc}3& 4& -4\\ -9& 10& 2\\ 0& -14& 2\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$X\cdot A+I=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -2& 10& 2\\ 1& -5& -1\end{array}\right)=B^{t}C$