Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -3& 1& -1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 5\\ -2& 4& 1\end{array}\right)$.

i) Calcule $A\cdot B^t$ y explique razonadamente si la matriz resultante tiene inversa. (3 puntos)

ii) Determine las matrices $X$ e $Y$ que verifican el sistema: $\{\begin{array}{l}2X-3Y=A\\ 3X-2Y=B\end{array}$ (7 puntos)

La matriz $A$ es de dimensión $2\times 3$ y $B^t$ de dimensión $3\times 2$, luego el producto existe y es una matriz cuadrada de orden 2.

$B^t=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 4\\ 5& 1\end{array}\right)$

$A\cdot B^t=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -3& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 4\\ 5& 1\end{array}\right)$

$A\cdot B^t=\left(\begin{array}{cc}6-1+0& -4-4+0\\ -9+1-5& 6+4-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& -8\\ -13& 9\end{array}\right)$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

$\mathrm{\mid }A\cdot B^t\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}5& -8\\ -13& 9\end{array}\mid =45-104=-59\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A\cdot B^t$ sí tiene inversa.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}\mathit{X}\mathbf{\text{e}}\mathit{Y}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{verifican}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema.}}(7\text{ puntos})$

Se resuelve el sistema por reducción, tratando las matrices como incógnitas.

$\{\begin{array}{l}2X-3Y=A\\ 3X-2Y=B\end{array}$

Se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 3:

$\{\begin{array}{l}4X-6Y=2A\\ 9X-6Y=3B\end{array}$

Restando la primera de la segunda:

$5X=3B-2A\Rightarrow X={\displaystyle \frac{1}{5}}(3B-2A)$

$3B=\left(\begin{array}{ccc}9& 3& 15\\ -6& 12& 3\end{array}\right);2A=\left(\begin{array}{ccc}4& -2& 0\\ -6& 2& -2\end{array}\right)$

$3B-2A=\left(\begin{array}{ccc}5& 5& 15\\ 0& 10& 5\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{5}}\left(\begin{array}{ccc}5& 5& 15\\ 0& 10& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$

Se sustituye en la primera ecuación para obtener $Y$:

$2X-3Y=A\Rightarrow 3Y=2X-A$

$2X-A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 6\\ 0& 4& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -3& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 6\\ 3& 3& 3\end{array}\right)$

$Y={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 6\\ 3& 3& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

Se comprueba en la segunda ecuación:

$3X-2Y=\left(\begin{array}{ccc}3& 3& 9\\ 0& 6& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 4\\ 2& 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 5\\ -2& 4& 1\end{array}\right)=B$