Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Se consideran las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}2& a& 0\\ -1& 1& a\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& -3\end{array}\right)$.

a) Hallar los valores de $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad $A\cdot B=C$.
b) Para $a=2$ y $b=4$, resolver la ecuación matricial $X=A\cdot B+3C$.

La matriz $A$ es de dimensión $2\times 3$ y $B$ de dimensión $3\times 2$, de modo que el producto $A\cdot B$ existe y es de dimensión $2\times 2$, la misma que $C$.

Se calcula el producto:

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}2& a& 0\\ -1& 1& a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& b\\ 4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 1+a\cdot 4+0\cdot 1& 2\cdot b+a\cdot 2+0\cdot 3\\ -1\cdot 1+1\cdot 4+a\cdot 1& -1\cdot b+1\cdot 2+a\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2+4a& 2b+2a\\ 3+a& 2+3a-b\end{array}\right)$

Dos matrices son iguales cuando lo son sus elementos uno a uno:

$\left(\begin{array}{cc}2+4a& 2b+2a\\ 3+a& 2+3a-b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& -3\end{array}\right)$

De la posición $a_{21}$ sale directamente el valor de $a$:

$3+a=2\Rightarrow a=-1$

Que es coherente con la posición $a_{11}$:

$2+4(-1)=-2$

De la posición $a_{12}$ se despeja $b$:

$2b+2(-1)=2\Rightarrow 2b=4\Rightarrow b=2$

Se comprueba en la posición $a_{22}$:

$2+3(-1)-2=2-3-2=-3$

Las cuatro igualdades se cumplen con $a=-1$ y $b=2$.



La incógnita ya está despejada, así que basta con hacer las operaciones. Con esos valores las matrices son

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ -1& 1& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$

Se calcula el producto:

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2+8+0& 8+4+0\\ -1+4+2& -4+2+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 12\\ 5& 4\end{array}\right)$

Se multiplica $C$ por el escalar 3:

$3C=3\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-6& 6\\ 6& -9\end{array}\right)$

Y se suman las dos matrices elemento a elemento:

$X=A\cdot B+3C=\left(\begin{array}{cc}10& 12\\ 5& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-6& 6\\ 6& -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 18\\ 11& -5\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es

$X=\left(\begin{array}{cc}4& 18\\ 11& -5\end{array}\right)$