Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

¿Es posible que una matriz $4\times 2$ coincida con su inversa? ¿Y con su traspuesta? (1 punto)

La respuesta a las dos preguntas es NO, y por razones distintas.

Sobre la inversa. Solo tienen inversa las matrices CUADRADAS, y además regulares. La definición de matriz inversa exige

$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$

y para que esos dos productos existan y den la misma matriz identidad, $A$ tiene que ser cuadrada. Una matriz de dimensión $4\times 2$ no lo es, de modo que ni siquiera tiene inversa: no puede coincidir con ella.

Se ve también con las dimensiones. Si $A$ es $4\times 2$ y coincidiera con su inversa, el producto $A\cdot A$ tendría que existir, y para eso las 2 columnas de la primera deberían igualar a las 4 filas de la segunda:

$(4\times 2)\cdot (4\times 2)\text{no se puede multiplicar}$

Sobre la traspuesta. La traspuesta se obtiene intercambiando filas por columnas, así que si $A$ es de dimensión $4\times 2$, entonces $A^t$ es de dimensión $2\times 4$.

Dos matrices solo pueden ser iguales si tienen la misma dimensión, y

$4\times 2\mathrm{\ne }2\times 4$

Por tanto una matriz $4\times 2$ tampoco puede coincidir con su traspuesta. Solo las matrices cuadradas pueden ser simétricas, que es como se llama a las que cumplen $A=A^t$.