Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$

a) Calcular la matriz $Y=A^2+B{B}^t$ donde $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$.
b) Determinar la matriz $X$ para que se verifique la ecuación $2AX=B$.

Se calculan por separado los dos sumandos. Primero el cuadrado de $A$, que es $A\cdot A$:

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-2& 2+2\\ -1-1& -2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ -2& -1\end{array}\right)$

Ahora el producto $B\cdot B^t$. La matriz $B$ es de dimensión $2\times 1$ y $B^t$ de dimensión $1\times 2$, así que el producto es de dimensión $2\times 2$:

$B\cdot B^t=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 4\end{array}\right)$

Se suman elemento a elemento:

$Y=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ -2& -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -4& 3\end{array}\right)$



La incógnita está multiplicada por la izquierda, así que hay que multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$ y dividir entre 2:

$2AX=B\Rightarrow AX={\displaystyle \frac{1}{2}}B\Rightarrow X={\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^{-1}B$

Se comprueba que $A$ tiene inversa:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\mid =1+2=3\mathrm{\ne }0$

Para una matriz de orden dos:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 1\end{array}\right)$

Se multiplica por $B$:

$A^{-1}B={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{c}1+4\\ 1-2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right)$

Y se divide entre 2:

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{5}{6}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$2\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{5}{6}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{2}{6}}\\ -{\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)=B$