Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1& 1\end{array}\right)$. Hallar $a$ y $b$ para que la matriz $A$ conmute con $B$. (1 punto)

Que $A$ conmute con $B$ significa que $A\cdot B=B\cdot A$, cosa que en general no ocurre con las matrices. Se calculan los dos productos y se igualan elemento a elemento.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+1& b+1\\ a& b\end{array}\right)$

$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+b& a\\ 2& 1\end{array}\right)$

Se igualan las dos matrices:

$\left(\begin{array}{cc}a+1& b+1\\ a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+b& a\\ 2& 1\end{array}\right)$

De la posición $a_{21}$ se obtiene directamente $a=2$ y de la $a_{22}$, $b=1$.

Se comprueba que las otras dos posiciones también se cumplen:

$a_{11}$: $a+1=3$ y $a+b=2+1=3$.

$a_{12}$: $b+1=2$ y $a=2$.

Las cuatro igualdades se satisfacen, de modo que $a=2$ y $b=1$, es decir,

$B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$