Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{cccc}a& 4& 1& 8\\ -2& b& 4& c\end{array}\right)$, hallar los valores $a$, $b$ y $c$ para que el rango de la matriz $A$ sea 1. (1 punto)

El rango de una matriz es el número de filas linealmente independientes que tiene. Que el rango de $A$ sea 1 significa que sus dos filas son proporcionales, es decir, que existe un número $k$ tal que la segunda fila es $k$ veces la primera:

$(-2,b,4,c)=k\cdot (a,4,1,8)$

La tercera columna es la que fija el valor de $k$, porque en ella los dos elementos son conocidos:

$4=k\cdot 1\Rightarrow k=4$

Con ese valor se despejan las otras tres incógnitas columna a columna:

$-2=4a\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$b=4\cdot 4=16$

$c=4\cdot 8=32$

Se comprueba que con esos valores las dos filas son proporcionales:

$A=\left(\begin{array}{cccc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& 4& 1& 8\\ -2& 16& 4& 32\end{array}\right)$

$(-2,16,4,32)=4\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}},4,1,8)$

Además la primera fila no es nula, así que el rango es exactamente 1 y no 0.

Los valores pedidos son $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, $b=16$ y $c=32$.