Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Se considera la siguiente matriz dependiente del parámetro real $k$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 3& -1& k\\ k& 1& k\end{array}\right)$

i) Determine los valores de $k$ para los cuales $A$ no tiene inversa. (2 puntos)

ii) Para $k=1$, calcule la matriz inversa de $A$. (5 puntos)

iii) Para $k=0$, calcule $(A-2A^t{)}^2$. (3 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{k}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathit{A}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}(2\text{ puntos})$

Una matriz cuadrada no tiene inversa cuando su determinante vale cero, así que se calcula el determinante en función del parámetro.

Se desarrolla por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 3& -1& k\\ k& 1& k\end{array}\mid =-1\mid \begin{array}{cc}-1& k\\ 1& k\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}3& k\\ k& k\end{array}\mid +0$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-1(-k-k)-2(3k-k^2)=2k-6k+2k^2=2k^2-4k$

Se busca cuándo se anula:

$2k^2-4k=0\Rightarrow 2k(k-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}k=0\\ k=2\end{array}$

La matriz $A$ no tiene inversa para $k=0$ y para $k=2$.



Con $k=1$ la matriz es

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 3& -1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

Se calcula la inversa por el método de los adjuntos.

1) El determinante, con la expresión del apartado anterior:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2\cdot 1^2-4\cdot 1=-2\mathrm{\ne }0$

2) La matriz de los adjuntos:

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\mid \\ -\mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 1\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 1\end{array}\mid \\ \mid \begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 1\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}-1& 0\\ 3& 1\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& -1\end{array}\mid \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& 4\\ -2& -1& 3\\ 2& 1& -5\end{array}\right)$

3) Su traspuesta:

${(\mathrm{Adj}(A))}^t=\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& 2\\ -2& -1& 1\\ 4& 3& -5\end{array}\right)$

4) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{Adj}(A))}^t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& 2\\ -2& -1& 1\\ 4& 3& -5\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}2& 2& -2\\ 2& 1& -1\\ -4& -3& 5\end{array}\right)$



Con $k=0$ la matriz y su traspuesta son

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 3& -1& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right);A^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 0\\ 2& -1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

Se calcula la diferencia:

$A-2A^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 3& -1& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}-2& 6& 0\\ 4& -2& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -4& 0\\ -1& 1& -2\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

Elevar al cuadrado es multiplicar la matriz por sí misma:

${(A-2A^t)}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& -4& 0\\ -1& 1& -2\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& -4& 0\\ -1& 1& -2\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

${(A-2A^t)}^2=\left(\begin{array}{ccc}1+4+0& -4-4+0& 0+8+0\\ -1-1+0& 4+1-2& 0-2+0\\ 0-1+0& 0+1+0& 0-2+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& -8& 8\\ -2& 3& -2\\ -1& 1& -2\end{array}\right)$