Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ m& -5\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\end{array}\right)$ y $D=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$, responda a las siguientes cuestiones:

i) Determine el valor de $m$ para que $AB=BA$. (3.5 puntos)

ii) Calcule $C{B}^{-1}$ y $D{C}^t$. (3.5 puntos)

iii) ¿Qué dimensión debe tener una matriz $N$ para que pueda calcularse el producto $DNC$? ¿Y para que $NB{D}^t$ sea una matriz cuadrada? Razone las respuestas. (3 puntos)

El producto de matrices no es conmutativo, así que se calculan los dos productos por separado y se igualan elemento a elemento.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ m& -5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ -m-5& -10\end{array}\right)$

$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ m& -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1+2m& -10\end{array}\right)$

Los elementos que no coinciden son los de la posición $a_{21}$:

$-m-5=1+2m\Rightarrow -6=3m\Rightarrow m=-2$

Se comprueba el resultado:

$A\cdot B=B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ -3& -10\end{array}\right)$

El parámetro debe valer $m=-2$.



Se calcula primero la inversa de $B$ por el método de los adjuntos.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 2\end{array}\mid =-2-0=-2\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{Adj}(B)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& -1\end{array}\right);{(\mathrm{Adj}(B))}^t=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& -1\end{array}\right)$

$B^{-1}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

$C$ es de dimensión $1\times 2$ y $B^{-1}$ de dimensión $2\times 2$, luego el producto es de dimensión $1\times 2$.

$C\cdot B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3+{\displaystyle \frac{1}{2}}& 0+{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{7}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

Para el segundo producto, $C^t$ es de dimensión $2\times 1$ y $D$ de dimensión $3\times 2$, luego $D{C}^t$ es de dimensión $3\times 1$.

$D\cdot C^t=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6+1\\ -3+0\\ 3+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ -3\\ 5\end{array}\right)$



Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda, y el resultado tiene las filas de la primera y las columnas de la segunda.

Para el producto $D\cdot N\cdot C$, con $N$ de dimensión $p\times q$:

$D$ es $3\times 2$, así que para poder hacer $D\cdot N$ hace falta $p=2$, y el producto $D\cdot N$ resulta de dimensión $3\times q$.

$C$ es $1\times 2$, así que para poder hacer $(DN)\cdot C$ hace falta $q=1$.

La matriz $N$ debe ser de dimensión $2\times 1$, y entonces $DNC$ es de dimensión $3\times 2$.

Para el producto $N\cdot B\cdot D^t$, con $N$ de dimensión $p\times q$:

$B$ es $2\times 2$, así que para poder hacer $N\cdot B$ hace falta $q=2$, y el producto $N\cdot B$ resulta de dimensión $p\times 2$.

$D^t$ es $2\times 3$, así que $(NB)\cdot D^t$ es de dimensión $p\times 3$. Para que sea cuadrada hace falta $p=3$.

La matriz $N$ debe ser de dimensión $3\times 2$, y entonces $NB{D}^t$ es cuadrada de orden 3.