Examen de Matemáticas CCSS de Navarra 2020 (convocatoria ordinaria)

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ m& -5\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\end{array}\right)$ y $D=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$, responda a las siguientes cuestiones:

i) Determine el valor de $m$ para que $AB=BA$. (3.5 puntos)

ii) Calcule $C{B}^{-1}$ y $D{C}^t$. (3.5 puntos)

iii) ¿Qué dimensión debe tener una matriz $N$ para que pueda calcularse el producto $DNC$? ¿Y para que $NB{D}^t$ sea una matriz cuadrada? Razone las respuestas. (3 puntos)

i) Calcule el valor de los parámetros de la función $f(x)=-x^3+a{x}^2+bx+c$, sabiendo que tiene un extremo relativo en el punto $(-1,0)$ y un punto de inflexión en el punto $x=1\mathrm{/}3$. (5 puntos)

ii) Calcule las asíntotas de la función $f(x)={\displaystyle \frac{3x^2+1}{x-2}}$ (5 puntos)

Una empresa tecnológica clasifica a sus 40 empleados en tres secciones: Portátiles (16 empleados), Telefonía (20 empleados) y Sonido (4 empleados). El 25% de los trabajadores de la sección Portátiles, el 40% de Telefonía y 3 trabajadores de Sonido tienen titulación C1 en inglés. Se selecciona al azar un empleado de la empresa.

i) Calcule la probabilidad de que no tenga titulación C1 en inglés y trabaje en la sección de Sonido. (3 puntos)

ii) Calcule la probabilidad de que trabaje en la sección de Telefonía, sabiendo que tiene titulación C1 en inglés. (3.5 puntos)

iii) Consideremos los sucesos A "el empleado trabaja en la sección Portátiles" y el suceso B "el empleado tiene titulación C1 en inglés". Compruebe si los sucesos A y B son o no independientes. (3.5 puntos)

Una empresa fabrica dos tipos de biocombustibles a partir de aceites vegetales (T1 y T2) y vende cada tonelada de biocombustible a un precio de 2000 euros y 1800 euros, respectivamente. Cada tonelada de biocombustible T1 requiere 3 horas de proceso en la línea de producción y 2 unidades de materia prima. Cada tonelada de biocombustible T2 requiere 1 hora de proceso en la línea de producción y 4 unidades de materia prima. Cada semana la empresa dispone de 195 unidades de materia prima y de 90 horas de tiempo de proceso en la línea de producción. Determine cuántas toneladas de cada tipo de biocombustible se deberá fabricar semanalmente para maximizar el precio total de venta, sabiendo que además se desea fabricar un total de al menos 40 toneladas de biocombustible.

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si se considerara un objetivo de tipo ecológico, y se deseara minimizar el nivel de contaminación asociado a este proceso de producción, sabiendo que fabricar una tonelada de biocombustible T1 produce 5 unidades de contaminación y fabricar una tonelada de biocombustible T2 produce 10 unidades de contaminación. (2 puntos)

Sea la función $y=x^3-3x^2$.

i) Calcule los puntos de corte con los ejes. (1 punto)

ii) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Calcule los máximos y mínimos. (3 puntos)

iii) Dibuje el recinto limitado por la función y el eje OX. (2 puntos)

iv) Calcule el área de dicho recinto. (4 puntos)

El tiempo que la población de jóvenes de una región dedica mensualmente a hacer deporte sigue una distribución normal con varianza de 16 horas${}^2$. El tiempo medio obtenido a partir de una muestra aleatoria de 64 jóvenes de dicha región es de 25.8 horas.

i) Calcule un intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza del 97%. (5 puntos)

ii) Con los datos de esa muestra se ha calculado el siguiente intervalo de confianza para el tiempo medio que los jóvenes de dicha región dedican mensualmente a hacer deporte: $[24.9775,26.6225]$. Determine el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)