Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Sea la función $y=x^3-3x^2$.

i) Calcule los puntos de corte con los ejes. (1 punto)

ii) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Calcule los máximos y mínimos. (3 puntos)

iii) Dibuje el recinto limitado por la función y el eje OX. (2 puntos)

iv) Calcule el área de dicho recinto. (4 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes.}}(1\text{ punto})$

Corte con el eje $OY$: se hace $x=0$.

$y=0^3-3\cdot 0^2=0\Rightarrow (0,0)$

Cortes con el eje $OX$: se hace $y=0$.

$x^3-3x^2=0\Rightarrow x^2(x-3)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}$

Los puntos de corte son $(0,0)$ y $(3,0)$.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos.}}(3\text{ puntos})$

Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-6x=3x(x-2)$

$y^{\mathrm{\prime }}=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

Se estudia el signo de la derivada en los tres tramos:

$y^{\mathrm{\prime }}(-1)=3+6=9>0$, la función crece.

$y^{\mathrm{\prime }}(1)=3-6=-3<0$, la función decrece.

$y^{\mathrm{\prime }}(3)=27-18=9>0$, la función crece.



La función crece en $(-\mathrm{\infty },0)\cup (2,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(0,2)$.

En $x=0$ la derivada pasa de positiva a negativa, luego hay un máximo relativo en $(0,0)$.

En $x=2$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo relativo:

$y(2)=8-12=-4\Rightarrow (2,-4)$

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{limitado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{OX.}}(2\text{ puntos})$

El recinto queda entre los dos cortes con el eje de abscisas, $x=0$ y $x=3$. En ese intervalo la función es negativa, porque $x^2>0$ y $x-3<0$, así que la curva va por debajo del eje y lo toca en los dos extremos.



$\mathbf{\text{iv)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{recinto.}}(4\text{ puntos})$

Como la función es negativa en todo el intervalo, la integral sale negativa y el área es su valor absoluto.

${\int }_0^3(x^3-3x^2)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-x^3]}_0^3={\displaystyle \frac{81}{4}}-27={\displaystyle \frac{81-108}{4}}=-{\displaystyle \frac{27}{4}}$

$A=\mid -{\displaystyle \frac{27}{4}}\mid ={\displaystyle \frac{27}{4}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{27}{4}}=\mathrm{6,75}$ unidades de área.