Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 6\end{array}\right)$, responda a las siguientes cuestiones:

i) Calcule $A^{-1}$ y $B^{-1}$ (3 puntos)

ii) Resuelva la ecuación matricial $C-A=2X-6I$ (3 puntos)

iii) Resuelva la ecuación matricial $AXB=C$ (4 puntos)

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Se calculan por el método de los adjuntos.

Para la matriz $A$:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 1\end{array}\mid =2\cdot 1-(-2)\cdot 0=2\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 2\end{array}\right);{(\mathrm{Adj}(A))}^t=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 2\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

Para la matriz $B$:

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\mid =3-4=-1\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{Adj}(B)=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 1\end{array}\right);{(\mathrm{Adj}(B))}^t=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$

$B^{-1}=-1\cdot \left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 2& -1\end{array}\right)$



Aquí la incógnita solo aparece multiplicada por un número, así que basta despejar como en una ecuación numérica.

$C-A=2X-6I\Rightarrow 2X=C-A+6I\Rightarrow X={\displaystyle \frac{1}{2}}(C-A+6I)$

$C-A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -2& 5\end{array}\right)$

$C-A+6I=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -2& 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ -2& 11\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ -2& 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -1& {\displaystyle \frac{11}{2}}\end{array}\right)$



Ahora la incógnita está multiplicada por la izquierda por $A$ y por la derecha por $B$, así que hay que multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda y por $B^{-1}$ por la derecha.

$AXB=C\Rightarrow A^{-1}AXB{B}^{-1}=A^{-1}C{B}^{-1}\Rightarrow X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

Se calcula primero $A^{-1}C$:

$A^{-1}C=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2-2& 1+6\\ -2& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 7\\ -2& 6\end{array}\right)$

Y ahora se multiplica por $B^{-1}$:

$X=\left(\begin{array}{cc}0& 7\\ -2& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0+14& 0-7\\ 6+12& -4-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}14& -7\\ 18& -10\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$A\cdot X\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 6\end{array}\right)=C$