Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 0& 2& -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\\ -1& -1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& -1\end{array}\right)$.

i) Razone qué dimensión debe tener una matriz $D$, para que $(B^t\cdot D)$ sea una matriz columna. (2 puntos)

ii) Calcule $A\cdot B$. (2 puntos)

iii) Despeje y calcule la matriz $X$ que verifica la ecuación $ABX-C=I$, siendo $I$ la matriz identidad. (6 puntos)

La matriz $B$ es de dimensión $3\times 2$, así que su traspuesta $B^t$ es de dimensión $2\times 3$.

Para que el producto $B^t\cdot D$ se pueda hacer, el número de columnas de $B^t$ debe coincidir con el número de filas de $D$, de modo que $D$ ha de tener 3 filas.

Si $D$ es de dimensión $3\times p$, el producto es de dimensión $2\times p$. Una matriz columna tiene una sola columna, luego $p=1$.

La matriz $D$ debe ser de dimensión $3\times 1$, es decir, una matriz columna de tres elementos.



$A$ es de dimensión $2\times 3$ y $B$ de dimensión $3\times 2$, luego el producto existe y es de dimensión $2\times 2$.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 0& 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\\ -1& -1\end{array}\right)$

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 2+(-2)\cdot 1+1\cdot (-1)& 3\cdot 1+(-2)\cdot 0+1\cdot (-1)\\ 0\cdot 2+2\cdot 1+(-1)\cdot (-1)& 0\cdot 1+2\cdot 0+(-1)\cdot (-1)\end{array}\right)$

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}6-2-1& 3-1\\ 2+1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$



Se despeja $X$. Como el producto $AB$ multiplica a $X$ por la izquierda, hay que multiplicar por su inversa también por la izquierda.

$ABX-C=I\Rightarrow (AB)X=I+C\Rightarrow (AB{)}^{-1}(AB)X=(AB{)}^{-1}(I+C)$

$X=(AB{)}^{-1}\cdot (I+C)$

Se calcula la inversa de $AB$. Su determinante es

$\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}3& 2\\ 3& 1\end{array}\mid =3\cdot 1-2\cdot 3=-3\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $AB$ tiene inversa.

$(AB{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{Adj}(AB))}^t=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 3\end{array}\right)$

Se calcula la suma:

$I+C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 0\end{array}\right)$

Se calcula la matriz $X$:

$X=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 0\end{array}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}2+4& 0\\ -6-6& 0\end{array}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ -12& 0\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 4& 0\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$ABX-C=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 4& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$