Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

i) Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 3& 0\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 4& 1\end{array}\right)$, calcule el valor de $a$ y $b$ para que se cumpla $AB=BA$. (1 punto)

ii) Calcule el área del recinto del plano limitado por la función $f(x)=-x^2-2x+3$ y el eje $x$. (1.5 puntos)

El producto de matrices no es conmutativo, así que se calculan los dos productos por separado y se igualan elemento a elemento.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0\cdot a-2\cdot 4& 0\cdot b-2\cdot 1\\ 3a+0\cdot 4& 3b+0\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-8& -2\\ 3a& 3b\end{array}\right)$

$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0+3b& -2a+0\\ 0+3& -8+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3b& -2a\\ 3& -8\end{array}\right)$

Igualando las dos matrices se obtiene el sistema:

$\{\begin{array}{l}-8=3b\\ -2=-2a\\ 3a=3\\ 3b=-8\end{array}$

De la segunda y la tercera ecuación, $a=1$; de la primera y la cuarta, $b=-{\displaystyle \frac{8}{3}}$.

Se comprueba el resultado:

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}-8& -2\\ 3& -8\end{array}\right)=B\cdot A$

Las dos matrices conmutan si $a=1$ y $b=-{\displaystyle \frac{8}{3}}$.



Los límites de integración son los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas.

$-x^2-2x+3=0\Rightarrow x^2+2x-3=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}}={\displaystyle \frac{-2\pm 4}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ x=1\end{array}$

La parábola tiene las ramas hacia abajo, de modo que entre esos dos cortes queda por encima del eje X y el área es directamente la integral definida.



$A={\int }_{-3}^1(-x^2-2x+3)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2+3x]}_{-3}^1$

$=(-{\displaystyle \frac{1}{3}}-1+3)-(-{\displaystyle \frac{-27}{3}}-9-9)$

$={\displaystyle \frac{5}{3}}-(9-9-9)={\displaystyle \frac{5}{3}}+9={\displaystyle \frac{32}{3}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{32}{3}}\approx \mathrm{10,67}$ unidades de área.