Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

i) Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& -2\\ 0& 2& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$, calcule, si es posible, la matriz inversa de $A$. (1.75 puntos)

ii) Calcule y simplifique la derivada de la función $f(x)={\displaystyle \frac{e^{3x}}{2x-5}}$. (0.75 puntos)

Se calcula la matriz inversa por el método de los adjuntos.

1) Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& -2& -2\\ 0& 2& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\mid =2\mid \begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\mid +2\mid \begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2\cdot 1+2\cdot 1-2\cdot (-2)=2+2+4=8\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A$ tiene inversa.

2) Se calcula la matriz de los adjuntos:

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}\mid \begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 1\end{array}\mid \\ -\mid \begin{array}{cc}-2& -2\\ 1& 0\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}2& -2\\ 1& 0\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}2& -2\\ 1& 1\end{array}\mid \\ \mid \begin{array}{cc}-2& -2\\ 2& -1\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}2& -2\\ 0& -1\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 2\end{array}\mid \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -2\\ -2& 2& -4\\ 6& 2& 4\end{array}\right)$

3) Se calcula la traspuesta de la matriz de los adjuntos:

${(\mathrm{Adj}(A))}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 6\\ -1& 2& 2\\ -2& -4& 4\end{array}\right)$

4) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{Adj}(A))}^t={\displaystyle \frac{1}{8}}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 6\\ -1& 2& 2\\ -2& -4& 4\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{8}}\left(\begin{array}{ccc}8& 0& 0\\ 0& 8& 0\\ 0& 0& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I$



Se aplica la regla de derivación de un cociente:

${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}v-u{v}^{\mathrm{\prime }}}{v^2}}$

con $u=e^{3x}$, de derivada $u^{\mathrm{\prime }}=3e^{3x}$, y $v=2x-5$, de derivada $v^{\mathrm{\prime }}=2$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3e^{3x}(2x-5)-e^{3x}\cdot 2}{(2x-5{)}^2}}$

Se saca factor común $e^{3x}$ en el numerador:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^{3x}(6x-15-2)}{(2x-5{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^{3x}(6x-17)}{(2x-5{)}^2}}$