Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

i) Resuelva gráficamente el siguiente problema de programación lineal y proporcione el valor de la solución óptima. (1.5 puntos)

$\text{Minimizar }f(x,y)=9x+6y\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}30x+20y\le 600\\ y\ge 2x\\ x\ge 5\\ y\ge 10\end{array}$

ii) Calcule la derivada de la función $f(x)=4+7x^3\cdot \cos (5x)+\ln (2x-5)$. (1 punto)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{proporcione}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptima.}}(\mathrm{1,5}\text{ puntos})$

Se simplifica primero la primera restricción dividiendo entre 10:

$30x+20y\le 600\Rightarrow 3x+2y\le 60$

Para representar la región factible se dibujan las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.

$3x+2y=60\Rightarrow y={\displaystyle \frac{60-3x}{2}}$,

$y=2x$,

$x=5$ y $y=10$.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x=5\\ y=10\end{array}\Rightarrow A(5,10)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x=5\\ 3x+2y=60\end{array}\Rightarrow 15+2y=60\Rightarrow y={\displaystyle \frac{45}{2}}=\mathrm{22,5}\Rightarrow B(5;\mathrm{22,5})$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}y=2x\\ 3x+2y=60\end{array}\Rightarrow 3x+4x=60\Rightarrow x={\displaystyle \frac{60}{7}}\Rightarrow C({\displaystyle \frac{60}{7}},{\displaystyle \frac{120}{7}})$

La recta $y=10$ corta a $3x+2y=60$ en $({\displaystyle \frac{40}{3}},10)$, pero ese punto no cumple $y\ge 2x$, porque $10<{\displaystyle \frac{80}{3}}$, así que no es vértice de la región factible.

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del mínimo:

$f(5,10)=9\cdot 5+6\cdot 10=45+60=105$

$f(5;\mathrm{22,5})=9\cdot 5+6\cdot \mathrm{22,5}=45+135=180$

$f({\displaystyle \frac{60}{7}},{\displaystyle \frac{120}{7}})=9\cdot {\displaystyle \frac{60}{7}}+6\cdot {\displaystyle \frac{120}{7}}={\displaystyle \frac{540+720}{7}}={\displaystyle \frac{1260}{7}}=180$

El mínimo se alcanza en el vértice $A(5,10)$ y el valor óptimo de la función objetivo es $f(5,10)=105$.



Se deriva sumando por sumando. La derivada de la constante es cero, el segundo sumando es un producto y el tercero una función logarítmica compuesta.

Para el segundo sumando se aplica la regla del producto $(u\cdot v{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$ con $u=7x^3$ y $v=\cos (5x)$:

${(7x^3\cdot \cos (5x))}^{\mathrm{\prime }}=21x^2\cos (5x)+7x^3\cdot (-\mathrm{sen}(5x))\cdot 5$

${(7x^3\cdot \cos (5x))}^{\mathrm{\prime }}=21x^2\cos (5x)-35x^3\mathrm{sen}(5x)$

Para el tercero se aplica ${(\ln u)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$:

${(\ln (2x-5))}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{2}{2x-5}}$

Sumando los tres resultados:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=21x^2\cos (5x)-35x^3\mathrm{sen}(5x)+{\displaystyle \frac{2}{2x-5}}$