Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa dedicada a la comercialización de vino dispone de un terreno cultivable para plantar dos tipos de uva (negra y blanca). El beneficio anual por hectárea dedicada a la plantación de uva negra es de 10000 € y el de cada hectárea dedicada a la plantación de uva blanca es de 7000 €. Siguiendo las recomendaciones de las cooperativas del sector, la parte dedicada a la plantación de uva negra debe estar entre 10 y 25 hectáreas, y la parte dedicada a uva blanca entre 7 y 15 hectáreas. Además, se quiere dedicar a la uva negra no más del doble de hectáreas que a la uva blanca. Sabiendo que no puede cultivar más de 30 hectáreas en total, determine cuántas hectáreas dedicar a cada tipo de uva si se desea maximizar el beneficio anual.

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si se eliminara la condición de que se quiere dedicar a la uva negra no más del doble de hectáreas que a la uva blanca. (2 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema.}}(4\text{ puntos})$

Se llama $x$ a las hectáreas dedicadas a la uva negra e $y$ a las dedicadas a la uva blanca.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Hect}\acute{\text{a}}\text{reas}$	$\text{Beneficio anual (€)}$
Uva negra (x)	x	10000x
Uva blanca (y)	y	7000y
Totales	x+y	10000x+7000y

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio anual:

$B(x,y)=10000x+7000y$

Las restricciones del problema son:

La parte dedicada a uva negra debe estar entre 10 y 25 hectáreas $\Rightarrow$ $10\le x\le 25$.

La parte dedicada a uva blanca debe estar entre 7 y 15 hectáreas $\Rightarrow$ $7\le y\le 15$.

A la uva negra no se le dedica más del doble de hectáreas que a la blanca $\Rightarrow$ $x\le 2y$.

No se pueden cultivar más de 30 hectáreas en total $\Rightarrow$ $x+y\le 30$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}10\le x\le 25\\ 7\le y\le 15\\ x\le 2y\\ x+y\le 30\end{array}$

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{interprete}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{contexto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema.}}(4\text{ puntos})$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.

$x=10$, $x=25$, $y=7$, $y=15$, $x=2y$ y $x+y=30$.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$: $x=10$ con $y=7$ $\Rightarrow A(10,7)$.

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}y=7\\ x=2y\end{array}\Rightarrow x=14\Rightarrow B(14,7)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x=2y\\ x+y=30\end{array}\Rightarrow 2y+y=30\Rightarrow y=10\Rightarrow x=20\Rightarrow C(20,10)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}x+y=30\\ y=15\end{array}\Rightarrow x=15\Rightarrow D(15,15)$

Vértice $E$: $x=10$ con $y=15$ $\Rightarrow E(10,15)$.

La restricción $x\le 25$ no llega a cortar a la región, porque $x+y\le 30$ junto con $y\ge 7$ ya obliga a que $x\le 23$.

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$B(10,7)=100000+49000=149000$

$B(14,7)=140000+49000=189000$

$B(20,10)=200000+70000=270000$

$B(15,15)=150000+105000=255000$

$B(10,15)=100000+105000=205000$

El beneficio máximo se produce en el vértice $C(20,10)$.

La empresa debe dedicar 20 hectáreas a la uva negra y 10 a la uva blanca, con lo que obtiene un beneficio anual máximo de $270000$ euros. Con ese reparto se cultivan las 30 hectáreas disponibles y la uva negra ocupa exactamente el doble que la blanca.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Analice}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ocurrir}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{eliminara}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{condici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{dedicar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{uva}}\mathbf{\text{negra}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{reas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{uva}}\mathbf{\text{blanca.}}(2\text{ puntos})$

Al eliminar la restricción $x\le 2y$ la región factible se amplía hacia la derecha, hasta el corte de $y=7$ con $x+y=30$.



$\{\begin{array}{l}y=7\\ x+y=30\end{array}\Rightarrow x=23\Rightarrow F(23,7)$

La nueva región factible es el cuadrilátero de vértices $A(10,7)$, $F(23,7)$, $D(15,15)$ y $E(10,15)$. Se valora en ellos la función objetivo:

$B(10,7)=149000$

$B(23,7)=230000+49000=279000$

$B(15,15)=255000$

$B(10,15)=205000$

El óptimo se desplazaría al vértice $F(23,7)$: la empresa dedicaría 23 hectáreas a la uva negra y 7 a la blanca, y el beneficio anual subiría de $270000$ a $279000$ euros. Es coherente con el planteamiento, porque la uva negra es la más rentable y la restricción eliminada era justamente la que limitaba su superficie.