Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Tras un vertido accidental, el nivel de contaminación de un lago (en partes por millón, ppm) varía según el tiempo (en días) de acuerdo a la siguiente función:

$P(t)=\{\begin{array}{ll}{t}^2-8t+20& \text{si }0\le t\le 6\\ {\displaystyle \frac{12t-64}{t-5}}& \text{si }t>6\end{array}$

Responda a las siguientes cuestiones:

i) Demuestre que el nivel de contaminación es continuo en el sexto día. (0.75 puntos)

ii) ¿En qué momento de los primeros 6 días la contaminación fue mínima? ¿Qué nivel de contaminación se alcanzó? (1.25 puntos)

iii) Si no se realiza ninguna limpieza adicional, ¿a qué nivel de contaminación tenderá el lago de forma estable con el paso del tiempo? (0.5 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{contaminaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continuo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sexto}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Una función definida a trozos es continua en el punto de empalme si existe la imagen y los dos límites laterales coinciden con ella.

Se calcula la imagen y el límite por la izquierda, ambos con el primer trozo, que es el que incluye $t=6$:

$P(6)=6^2-8\cdot 6+20=36-48+20=8$

${\lim }_{t\to 6^{-}}P(t)={\lim }_{t\to 6^{-}}(t^2-8t+20)=8$

Se calcula el límite por la derecha con el segundo trozo:

${\lim }_{t\to 6^{+}}P(t)={\lim }_{t\to 6^{+}}{\displaystyle \frac{12t-64}{t-5}}={\displaystyle \frac{12\cdot 6-64}{6-5}}={\displaystyle \frac{72-64}{1}}=8$

Como

${\lim }_{t\to 6^{-}}P(t)={\lim }_{t\to 6^{+}}P(t)=P(6)=8$

la función es continua en $t=6$: el nivel de contaminación no da ningún salto en el sexto día y vale 8 ppm.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{primeros}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{contaminaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{contaminaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{?}}(\mathrm{1,25}\text{ puntos})$

En los primeros seis días la contaminación viene dada por $P(t)=t^2-8t+20$. Se buscan los puntos críticos derivando e igualando a cero.

$P^{\mathrm{\prime }}(t)=2t-8$

$P^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow 2t-8=0\Rightarrow t=4$

Se estudia el signo de la derivada a un lado y a otro del punto crítico:

$P^{\mathrm{\prime }}(2)=2\cdot 2-8=-4<0$, la función decrece en $(0,4)$.

$P^{\mathrm{\prime }}(5)=2\cdot 5-8=2>0$, la función crece en $(4,6)$.



Como la función pasa de decrecer a crecer, en $t=4$ hay un mínimo relativo, que además es el mínimo absoluto del intervalo porque los valores en los extremos son mayores:

$P(0)=20;P(4)=4^2-8\cdot 4+20=16-32+20=4;P(6)=8$

La contaminación fue mínima a los 4 días y el nivel alcanzado fue de 4 ppm.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{ninguna}}\mathbf{\text{limpieza}}\mathbf{\text{adicional,}}\mathbf{\text{¿a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{contaminaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tender}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{lago}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{estable}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{paso}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo?}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

El comportamiento a largo plazo lo da el límite en el infinito del segundo trozo, que es el que rige para $t>6$.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}P(t)={\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{12t-64}{t-5}}$

Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales:

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{12t-64}{t-5}}={\displaystyle \frac{12}{1}}=12$

El lago tenderá de forma estable a un nivel de contaminación de 12 ppm, que es la asíntota horizontal de la función.