Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

i) Calcule las asíntotas de la función $f(x)={\displaystyle \frac{3x^2+1}{9-x^2}}$ y estudie la posición de la función respecto a ellas. (5 puntos)

ii) Calcule la primitiva $F(x)$ de la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x^3-3x+5}{x}}$ que cumpla $F(1)=1$. (5 puntos)

Asíntotas verticales. Se buscan los valores que anulan el denominador:

$9-x^2=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$

En ninguno de los dos se anula el numerador, así que ambos dan asíntota vertical.

${\lim }_{x\to 3^{-}}{\displaystyle \frac{3x^2+1}{9-x^2}}={\displaystyle \frac{28}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to 3^{+}}{\displaystyle \frac{3x^2+1}{9-x^2}}={\displaystyle \frac{28}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to -3^{-}}{\displaystyle \frac{3x^2+1}{9-x^2}}={\displaystyle \frac{28}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to -3^{+}}{\displaystyle \frac{3x^2+1}{9-x^2}}={\displaystyle \frac{28}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

Las rectas $x=-3$ y $x=3$ son asíntotas verticales.

Asíntota horizontal. Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{3x^2+1}{9-x^2}}={\displaystyle \frac{3}{-1}}=-3$

La recta $y=-3$ es asíntota horizontal, y al haberla no hay asíntota oblicua.

Para estudiar la posición respecto a la asíntota horizontal se calcula la diferencia:

$f(x)-(-3)={\displaystyle \frac{3x^2+1}{9-x^2}}+3={\displaystyle \frac{3x^2+1+27-3x^2}{9-x^2}}={\displaystyle \frac{28}{9-x^2}}$

El numerador es siempre positivo, así que el signo lo marca el denominador:

Si $-3<x<3$, entonces $9-x^2>0$ y $f(x)>-3$: la función va por encima de la asíntota.

Si $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>3$, entonces $9-x^2<0$ y $f(x)<-3$: la función va por debajo de la asíntota, tanto cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ como cuando $x\to -\mathrm{\infty }$.





Antes de integrar se divide término a término entre $x$:

$f(x)={\displaystyle \frac{2x^3}{x}}-{\displaystyle \frac{3x}{x}}+{\displaystyle \frac{5}{x}}=2x^2-3+{\displaystyle \frac{5}{x}}$

Se integra sumando a sumando:

$F(x)=\int (2x^2-3+{\displaystyle \frac{5}{x}})dx={\displaystyle \frac{2x^3}{3}}-3x+5\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+C$

Se determina la constante con la condición $F(1)=1$:

$F(1)={\displaystyle \frac{2}{3}}-3+5\ln 1+C={\displaystyle \frac{2}{3}}-3+C=1$

$C=1+3-{\displaystyle \frac{2}{3}}=4-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{10}{3}}$

La primitiva pedida es

$F(x)={\displaystyle \frac{2x^3}{3}}-3x+5\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+{\displaystyle \frac{10}{3}}$