Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Considere la siguiente función definida a trozos:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-x^2& x\le 1\\ x^2-6x+5& 1<x<4\\ 2x-11& x\ge 4\end{array}$

i) Calcule las derivadas laterales de $f(x)$ en $x=4$, utilizando la definición de derivada. (4 puntos)

ii) ¿La función $f(x)$ es derivable en $x=4$? ¿Es continua en $x=4$? Justifique la respuesta. (2 puntos)

iii) Calcule la siguiente integral: ${\displaystyle \int \sqrt{6x-1}dx}$ (4 puntos)

La definición de derivada lateral en un punto es

$f^{\mathrm{\prime }}(a^{\pm })={\lim }_{h\to 0^{\pm }}{\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$

En $x=4$ rige el tercer trozo, así que

$f(4)=2\cdot 4-11=-3$

Derivada por la izquierda. Para $h<0$ pequeño, $4+h$ cae en el segundo trozo:

$f(4+h)=(4+h{)}^2-6(4+h)+5=16+8h+h^2-24-6h+5=-3+2h+h^2$

${\displaystyle \frac{f(4+h)-f(4)}{h}}={\displaystyle \frac{-3+2h+h^2+3}{h}}={\displaystyle \frac{h(2+h)}{h}}=2+h$

$f^{\mathrm{\prime }}(4^{-})={\lim }_{h\to 0^{-}}(2+h)=2$

Derivada por la derecha. Para $h>0$, $4+h$ cae en el tercer trozo:

$f(4+h)=2(4+h)-11=-3+2h$

${\displaystyle \frac{f(4+h)-f(4)}{h}}={\displaystyle \frac{-3+2h+3}{h}}={\displaystyle \frac{2h}{h}}=2$

$f^{\mathrm{\prime }}(4^{+})={\lim }_{h\to 0^{+}}2=2$



Las dos derivadas laterales existen y coinciden:

$f^{\mathrm{\prime }}(4^{-})=f^{\mathrm{\prime }}(4^{+})=2$

Por tanto la función es derivable en $x=4$, y su derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(4)=2$.

Toda función derivable en un punto es continua en él, de modo que la función también es continua en $x=4$. Se comprueba directamente:

${\lim }_{x\to 4^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 4^{-}}(x^2-6x+5)=16-24+5=-3$

${\lim }_{x\to 4^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 4^{+}}(2x-11)=-3$

$f(4)=-3$

Los dos límites laterales coinciden con la imagen, así que la función es continua en $x=4$.



Se escribe la raíz como una potencia de exponente fraccionario:

$\int \sqrt{6x-1}dx=\int (6x-1{)}^{1\mathrm{/}2}dx$

Se ajusta la constante multiplicando y dividiendo por 6, que es la derivada de $6x-1$:

$\int (6x-1{)}^{1\mathrm{/}2}dx={\displaystyle \frac{1}{6}}\int 6(6x-1{)}^{1\mathrm{/}2}dx={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{(6x-1{)}^{3\mathrm{/}2}}{3\mathrm{/}2}}$

$\int \sqrt{6x-1}dx={\displaystyle \frac{1}{9}}\sqrt{(6x-1{)}^3}+C$