Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Consideremos la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& \text{si }x\le 1\\ {\displaystyle \frac{1}{2x-1}}& \text{si }x>1\end{array}$

a) Estudiar la continuidad de $f(x)$ en todo su dominio. Calcular, si los tiene, los puntos de discontinuidad.
b) Determinar el área encerrada entre $f(x)$ y el eje OX en el intervalo $[0,1]$, dibujando el recinto correspondiente.

El primer trozo, $x^2$, es polinómico y está definido para todo $x\le 1$. El segundo, ${\displaystyle \frac{1}{2x-1}}$, solo se indefine donde se anula el denominador:

$2x-1=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

pero ese valor no cumple $x>1$, así que no afecta. El dominio de la función es todo $\mathbb{R}$ y en cada trozo por separado es continua.

El único punto dudoso es el empalme, $x=1$.

Valor de la función. Como $x=1$ cumple $x\le 1$, se usa el primer trozo:

$f(1)=1^2=1$

Límite por la izquierda:

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}{x}^2=1$

Límite por la derecha:

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{1}{2x-1}}={\displaystyle \frac{1}{2-1}}=1$

Los dos límites laterales coinciden entre sí y con el valor de la función:

${\lim }_{x\to 1}f(x)=1=f(1)$

La función es continua en $x=1$ y, por tanto, en todo $\mathbb{R}$: no tiene ningún punto de discontinuidad.



Todo el intervalo $[0,1]$ cumple $x\le 1$, así que en él la función es $f(x)=x^2$, que es positiva o nula. El recinto queda por encima del eje y no hace falta partir la integral.



$A={\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{3}}-0={\displaystyle \frac{1}{3}}$

El área encerrada entre la función y el eje OX en el intervalo $[0,1]$ es de ${\displaystyle \frac{1}{3}}\approx \mathrm{0,33}$ unidades cuadradas.