Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

El consumo (medido en litros por hora) de combustible, en una explotación industrial durante un turno de 8 horas, se puede expresar por la función:

$f(t)=\{\begin{array}{ll}-t^2+6t+3& \text{si }0\le t\le 2\\ -t+a& \text{si }2<t\le 8\end{array}$

donde $t$ representa el tiempo desde el inicio del turno, medido en horas.

a) Establecer el valor de $a$ para que el consumo sea continuo a lo largo de todo el turno. ¿A partir de la segunda hora cuánto cambia el consumo por cada hora que pasa?
b) ¿En qué momento se alcanza el máximo consumo? ¿Cuánto se está consumiendo en ese momento? ¿En qué periodo de tiempo el consumo supera los 8 litros por hora?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Establecer}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continuo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{turno.}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{hora}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{cambia}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{hora}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa?}}$

Los dos trozos son polinómicos y, por tanto, continuos por separado. El único punto dudoso es el empalme, $t=2$, donde hay que imponer que coincidan los límites laterales.

Valor de la función y límite por la izquierda. Como $t=2$ cumple $0\le t\le 2$, se usa el primer trozo:

$f(2)=-2^2+6\cdot 2+3=-4+12+3=11$

Límite por la derecha:

${\lim }_{t\to 2^{+}}f(t)={\lim }_{t\to 2^{+}}(-t+a)=-2+a$

Se igualan:

$-2+a=11\Rightarrow a=13$

Con $a=13$ el consumo es continuo durante todo el turno.

A partir de la segunda hora el consumo viene dado por $f(t)=-t+13$, que es una recta de pendiente $-1$. La pendiente es precisamente lo que cambia la función por cada unidad que avanza $t$:

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=-1$

Es decir, a partir de la segunda hora el consumo baja 1 litro por hora cada hora que pasa.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{consumo?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{consumiendo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{momento?}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{supera}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{litros}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{hora?}}$

En el primer tramo la derivada es

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=-2t+6$

que se anula en $t=3$, valor que NO pertenece a $[0,2]$. Dentro del tramo la derivada es positiva ($f^{\mathrm{\prime }}(1)=4>0$), así que la función crece y su mayor valor está en el extremo derecho:

$f(2)=11$

En el segundo tramo la función es una recta decreciente, de modo que empieza en 11 y va bajando. Comparando los dos tramos, el máximo consumo se alcanza en $t=2$ y vale 11 litros por hora.

Para el último apartado se resuelve $f(t)>8$ en cada tramo.

Primer tramo, $0\le t\le 2$:

$-t^2+6t+3>8\Rightarrow -t^2+6t-5>0\Rightarrow t^2-6t+5<0$

$t^2-6t+5=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{36-20}}{2}}={\displaystyle \frac{6\pm 4}{2}}\Rightarrow t=1,t=5$

La parábola $t^2-6t+5$ tiene las ramas hacia arriba, así que es negativa entre sus raíces: $1<t<5$. Dentro del tramo queda $1<t\le 2$.

Segundo tramo, $2<t\le 8$:

$-t+13>8\Rightarrow t<5$

Dentro del tramo queda $2<t<5$.



Uniendo los dos tramos, el consumo supera los 8 litros por hora entre la primera y la quinta hora del turno, es decir, en el intervalo $(1,5)$.