Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Se considera la función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}4-x^2& \text{si }x\le 1\\ {\displaystyle \frac{b}{x}}& \text{si }x>1\end{array}$

a) Determinar el valor de $b$ para que $f(x)$ sea continua.
b) Calcular el área delimitada por $f(x)$ y el eje OX en el intervalo $(0,1)$.

Los dos trozos son continuos por separado: el primero es un polinomio y el segundo, ${\displaystyle \frac{b}{x}}$, solo se indefine en $x=0$, valor que no cumple $x>1$.

El único punto dudoso es el empalme, $x=1$.

Valor de la función y límite por la izquierda. Como $x=1$ cumple $x\le 1$, se usa el primer trozo:

$f(1)=4-1^2=3$

Límite por la derecha:

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{b}{x}}={\displaystyle \frac{b}{1}}=b$

Se igualan:

$b=3$

Con $b=3$ la función es continua en todo su dominio.



Todo el intervalo $(0,1)$ cumple $x\le 1$, así que en él la función es $f(x)=4-x^2$. Se comprueba su signo: entre 0 y 1 se tiene $x^2<1$, luego

$f(x)=4-x^2>3>0$

El recinto queda por encima del eje y el área coincide con la integral.



$A={\int }_0^1(4-x^2)dx={[4x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^1=(4-{\displaystyle \frac{1}{3}})-0={\displaystyle \frac{11}{3}}$

El área delimitada por la función y el eje OX en el intervalo $(0,1)$ es de ${\displaystyle \frac{11}{3}}\approx \mathrm{3,67}$ unidades cuadradas.