Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Dada la función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-3x+2& \text{si }x\le 3\\ 3x-2m& \text{si }x>3\end{array}$

a) Hallar el valor de $m$ para que la función sea continua en todos los números reales.
b) Para $m=-1$, calcular el área limitada por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje OX en el intervalo $[5,7]$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{meros}}\mathbf{\text{reales.}}$

Los dos trozos son polinómicos y, por tanto, continuos por separado. El único punto dudoso es el empalme, $x=3$.

Valor de la función y límite por la izquierda. Como $x=3$ cumple $x\le 3$, se usa el primer trozo:

$f(3)=3^2-3\cdot 3+2=9-9+2=2$

Límite por la derecha:

${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{+}}(3x-2m)=9-2m$

Se igualan:

$9-2m=2\Rightarrow 2m=7\Rightarrow m={\displaystyle \frac{7}{2}}$

Con $m={\displaystyle \frac{7}{2}}=\mathrm{3,5}$ la función es continua en todo $\mathbb{R}$.



Con $m=-1$ el segundo trozo es

$f(x)=3x-2(-1)=3x+2$

Todo el intervalo $[5,7]$ cumple $x>3$, así que en él la función es esa recta. Se comprueba su signo en los extremos:

$f(5)=17>0;f(7)=23>0$

La recta es creciente y positiva en todo el intervalo, de modo que el área coincide con la integral.



$A={\int }_5^7(3x+2)dx={[{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+2x]}_5^7$

$=({\displaystyle \frac{147}{2}}+14)-({\displaystyle \frac{75}{2}}+10)={\displaystyle \frac{147-75}{2}}+4=36+4=40$

El área limitada por la gráfica y el eje OX en el intervalo $[5,7]$ es de 40 unidades cuadradas.