Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Queremos definir una función por trozos, de forma que quede definida en el intervalo $[-2,2]$ según

$f(x)=\{\begin{array}{ll}3-2x& \text{si }x\in [-2,a),\\ x+4& \text{si }x\in [a,b),\\ 5\mathrm{/}x& \text{si }x\in [b,2]\mathrm{.}\end{array}$

Calcula los valores de a y b necesarios para que f sea continua (1.25 puntos), y representa la función gráficamente (1.25 puntos).

$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{b}}\mathbf{\text{necesarios}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{(1.25}}\mathbf{\text{puntos),}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{(1.25}}\mathbf{\text{puntos).}}$

Dentro de cada tramo la función es continua —dos rectas y una hipérbola sin polos en la zona— y los únicos puntos conflictivos son $x=a$ y $x=b$, donde cambia la definición. En cada uno se igualan los límites laterales.

En $x=a$:

${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=3-2a;{\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=a+4$

$3-2a=a+4\Rightarrow -3a=1\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

El valor obtenido pertenece al intervalo $[-2,2]$, como debe ser.

En $x=b$:

${\lim }_{x\to b^{-}}f(x)=b+4;{\lim }_{x\to b^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{5}{b}}$

$b+4={\displaystyle \frac{5}{b}}\Rightarrow b^2+4b-5=0$

$b={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{2}}={\displaystyle \frac{-4\pm 6}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}b=1\\ b=-5\end{array}$

Se descarta $b=-5$ porque no pertenece a $[-2,2]$; además debe cumplirse $a<b$, cosa que solo hace $b=1$.

Los valores pedidos son $a=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ y $b=1$.

Para representar la función basta con los extremos de cada tramo, porque los dos primeros son segmentos de recta y el tercero un arco de hipérbola:

$f(-2)=3+4=7;f(-{\displaystyle \frac{1}{3}})=-{\displaystyle \frac{1}{3}}+4={\displaystyle \frac{11}{3}}$

$f(1)=1+4=5;f(2)={\displaystyle \frac{5}{2}}$



La gráfica baja en línea recta de 7 a $\frac{11}{3}$, sube en línea recta hasta 5 y desciende después por la hipérbola hasta $\frac{5}{2}$, sin ningún salto.