Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Una empresa olivarera considera que la cantidad (medida en kg/ha) de aceituna recolectada en un año se puede expresar como una función ($f$) que depende de los litros de lluvia caídos durante ese año ($x$). La expresión de $f$ es:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{6}}(-x^2+730x-96000)& \text{si }250\le x\le 450\\ {\displaystyle \frac{2x^2}{5}}-390x+a& \text{si }450<x\le 480\end{array}$

a) Determine el valor de la constante $a$ para que la función $f$ sea continua en todo su dominio. [1 punto]

b) Utilizando el valor de $a$ obtenido en el apartado anterior, ¿con qué cantidad de lluvia se recogería la máxima cantidad de aceituna? ¿Cuántos kg/ha se recogen en ese caso? ¿Con qué cantidad de lluvia se recogería la mínima cantidad de aceituna? [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Los dos trozos son polinomios, luego son continuos donde están definidos. El único punto que hay que estudiar es el empalme, $x=450$, donde han de coincidir los dos límites laterales.





Por la izquierda:

${\lim }_{x\to {450}^{-}}f(x)=\frac{1}{6}(-{450}^2+730\cdot 450-96000)=\frac{1}{6}(-202500+328500-96000)$

$=\frac{30000}{6}=5000$

Por la derecha:

${\lim }_{x\to {450}^{+}}f(x)=\frac{2\cdot {450}^2}{5}-390\cdot 450+a=81000-175500+a=-94500+a$

Igualando:

$-94500+a=5000\Rightarrow a=99500$

Con $a=99500$ la función es continua en todo $[250,480]$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lluvia}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{recoger}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aceituna?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{kg/ha}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{recogen}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso?}}\mathbf{\text{¿Con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lluvia}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{recoger}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aceituna?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se estudia cada tramo por separado y se comparan después los extremos, que es lo que exige un problema de máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado.

$\mathbf{\text{Primer}}\mathbf{\text{tramo,}}250\le x\le 450$. Es una parábola hacia abajo:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{6}(-2x+730)=0\Rightarrow x=365$

$f(365)=\frac{1}{6}(-133225+266450-96000)=\frac{37225}{6}=\mathrm{6204,17}$

$\mathbf{\text{Segundo}}\mathbf{\text{tramo,}}450<x\le 480$. Ahora la parábola se abre hacia arriba, con vértice en

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{4x}{5}-390=0\Rightarrow x=\mathrm{487,5}$

que cae fuera del intervalo. Como $f^{\mathrm{\prime }}(480)=384-390=-6<0$, la función decrece en todo el tramo, desde $f(450)=5000$ hasta

$f(480)=\frac{2\cdot {480}^2}{5}-390\cdot 480+99500=92160-187200+99500=4460$

Reuniendo los candidatos —los extremos del dominio y los puntos críticos—:

$x$ (L)	250	365	450	480 $f(x)$ (kg/ha)	4000	6204,17	5000	4460

La máxima cosecha se obtiene con $365$ litros de lluvia y asciende a $\mathrm{6204,17}$ kg/ha, y la mínima con $250$ litros, con $4000$ kg/ha.

El resultado tiene sentido agronómico: hay una cantidad óptima de lluvia, y tanto la sequía como el exceso de agua reducen la cosecha.