Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Considere la función real de variable real:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-3x+2}& \text{si }x<0\\ {\displaystyle \frac{x^2-4x+2}{x+1}}& \text{si }x\ge 0\end{array}$

a) Determine razonadamente el dominio de la función. [0,5 puntos]

b) Estudie la continuidad de la función en $x=0$. [1 punto]

c) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. ¿Existe algún extremo de esta función? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Se estudia cada rama en el intervalo en el que actúa. Para $x<0$ la función es una exponencial, que está definida para cualquier número real. Para $x\ge 0$ es un cociente de polinomios, y el denominador solo se anula en $x=-1$, que no pertenece a ese tramo:

$x+1=0\Rightarrow x=-1\mathrm{\notin }[0,+\mathrm{\infty })$

El dominio es $\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}$.



Cada rama es continua en su intervalo, así que el único punto dudoso es el de empalme. Se calculan los dos límites laterales:

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}{e}^{-3x+2}=e^2\approx \mathrm{7,39}$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{x^2-4x+2}{x+1}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2=f(0)$

$e^2\mathrm{\ne }2\Rightarrow \mathrm{\nexists }{\lim }_{x\to 0}f(x)$

Los límites laterales existen pero son distintos, de modo que en $x=0$ hay una discontinuidad de salto finito, de amplitud $e^2-2\approx \mathrm{5,39}$. La función es continua en el resto de la recta real.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{¿Existe}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{extremo?}}$

Se deriva cada rama por separado. La exponencial:

$x<0:f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3e^{-3x+2}<0$

La exponencial es siempre positiva y va multiplicada por $-3$, así que la derivada es negativa en todo el tramo y la función decrece.

El cociente:

$x>0:f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(2x-4)(x+1)-(x^2-4x+2)}{(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2+2x-6}{(x+1{)}^2}}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, luego el signo lo marca el numerador:

$x^2+2x-6=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{4+24}}{2}}=-1\pm \sqrt{7}$

La raíz $-1-\sqrt{7}\approx -\mathrm{3,65}$ es negativa y queda fuera de este tramo; la que sirve es $x=\sqrt{7}-1\approx \mathrm{1,65}$.



$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\text{ en }(-\mathrm{\infty },0)\text{ y en }(0,\sqrt{7}-1)f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\text{ en }(\sqrt{7}-1,+\mathrm{\infty })$

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },0)$ y en $(0,\sqrt{7}-1)$ y crece en $(\sqrt{7}-1,+\mathrm{\infty })$.

En $x=\sqrt{7}-1$ la derivada pasa de negativa a positiva: hay un mínimo relativo, y su valor es

$f(\sqrt{7}-1)={\displaystyle \frac{{(\sqrt{7}-1)}^2-4(\sqrt{7}-1)+2}{\sqrt{7}}}={\displaystyle \frac{14-6\sqrt{7}}{\sqrt{7}}}=2\sqrt{7}-6\approx -\mathrm{0,71}$

El mínimo relativo está en $(\sqrt{7}-1,2\sqrt{7}-6)\approx (\mathrm{1,65};-\mathrm{0,71})$. En $x=0$ no hay extremo: la función decrece a los dos lados y lo que ocurre allí es el salto de la discontinuidad.