Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

La velocidad de una montaña rusa, medida en km/h, durante los 20 primeros segundos del recorrido se puede aproximar por la siguiente función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+7x& \text{si }0\le x\le 12\\ {\displaystyle \frac{-1}{108}}{x}^3+{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-34x+220& \text{si }12<x\le 20\end{array}$

donde $x$ representa el tiempo (en segundos) desde la salida.

a) ¿En qué intervalos de tiempo la velocidad aumenta y en cuáles decrece? [1 punto]

b) Tras el segundo 1 y antes del segundo 20, ¿la velocidad es inferior a 5 km/h en algún momento? ¿Supera los 70 km/h en algún momento? En caso afirmativo, indique cuándo. [1 punto]

c) Explique cuál de las siguientes figuras se corresponde con la gráfica de la función $f$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{aumenta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{decrece?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Se estudia el signo de la derivada en cada tramo. En el primero, $0\le x\le 12$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-x+7$

que se anula en $x=7$, es positiva antes y negativa después.





En el segundo tramo, $12<x\le 20$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{3x^2}{108}+3x-34=-\frac{x^2}{36}+3x-34$

Igualando a cero y multiplicando por $-36$:

$x^2-108x+1224=0\Rightarrow x=\frac{108\pm \sqrt{11664-4896}}{2}=\frac{108\pm \mathrm{82,27}}{2}$

Las raíces son $x=\mathrm{12,87}$ y $x=\mathrm{95,1}$; solo la primera cae dentro del intervalo. El signo se comprueba en dos puntos: $f^{\mathrm{\prime }}(12)=-4+36-34=-2<0$ y $f^{\mathrm{\prime }}(15)=-\mathrm{6,25}+45-34=\mathrm{4,75}>0$.

En resumen:

Intervalo	Signo de $f^{\mathrm{\prime }}$	La velocidad $(0,7)$	$+$	aumenta $(7,\mathrm{12,87})$	$-$	disminuye $(\mathrm{12,87},20)$	$+$	aumenta

Conviene comprobar de paso que la función es continua en el empalme, porque si no el estudio no valdría: $f({12}^{-})=-72+84=12$ y $f({12}^{+})=-16+216-408+220=12$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Tras}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{antes}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{20,}}\mathbf{\text{¿la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{km/h}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{momento?}}\mathbf{\text{¿Supera}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{70}}\mathbf{\text{km/h}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{momento?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En un intervalo cerrado, los valores extremos de una función continua se alcanzan o en los puntos críticos o en los bordes, así que basta evaluar los cuatro candidatos:

$x$ (s)	1	7	12,87	20 $f(x)$ (km/h)	6,5	24,5	11,14	65,93

El menor de todos es $f(1)=\mathrm{6,5}$ km/h, de modo que la velocidad $\mathbf{\text{nunca}}\mathbf{\text{baja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}$ km/h en ese intervalo: el mínimo local del segundo tramo, 11,14 km/h, queda todavía más alto.

Y el mayor es $f(20)=\mathrm{65,93}$ km/h, así que tampoco $\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{superar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{70}}$ km/h, aunque se queda cerca al final del recorrido. El máximo local del primer tramo, 24,5 km/h, está muy lejos de ese umbral.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{figuras}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{corresponde}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los apartados anteriores dan tres señas de identidad que la gráfica correcta debe respetar:

Pasa por el origen, ya que $f(0)=0$.

Tiene un máximo local en $x=7$ de valor $\mathrm{24,5}$.

Y un mínimo local en $x\approx \mathrm{12,9}$ de valor $\approx 11$, a partir del cual sube con fuerza.

La única que cumple las tres es la $\mathbf{\text{(i)}}$.

La $(ii)$ hay que descartarla porque su máximo vale unos 19,5 y su mínimo unos 6, y además no arranca en el origen. Y la $(iii)$, porque presenta un salto alrededor de $x=10$ y su mínimo cae por debajo de 11; nuestra función es continua en todo el recorrido, como se comprobó en el apartado a).