Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Consideremos la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}6x-1& \text{si }x\le 0\\ {\displaystyle \frac{1}{x}}& \text{si }x>0\end{array}$

a) Estudiar la continuidad de la función $f(x)$ en todo su dominio. Calcular, si los tiene, los puntos de discontinuidad.
b) Calcular el área limitada por la función $f(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo $[1,10]$, dibujando el recinto correspondiente.

El primer trozo, $6x-1$, es polinómico y está definido para todo $x\le 0$. El segundo, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$, solo se indefine en $x=0$, valor que no cumple $x>0$. El dominio de la función es, por tanto, todo $\mathbb{R}$, y en cada trozo por separado es continua.

El punto que hay que estudiar es el empalme, $x=0$.

Valor de la función. Como $x=0$ cumple $x\le 0$, se usa el primer trozo:

$f(0)=6\cdot 0-1=-1$

Límite por la izquierda:

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(6x-1)=-1$

Límite por la derecha:

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }$

Los límites laterales no coinciden y, además, el de la derecha es infinito, de modo que no existe el límite en $x=0$.

La función es continua en $\mathbb{R}-\{0\}$ y en $x=0$ presenta una discontinuidad de salto infinito: la recta $x=0$ es una asíntota vertical por la derecha.



Todo el intervalo $[1,10]$ cumple $x>0$, así que en él la función es $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, positiva en todo el intervalo. El recinto queda por encima del eje y no hace falta partir la integral.



$A={\int }_1^{10}{\displaystyle \frac{1}{x}}dx={[\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }]}_1^{10}=\ln 10-\ln 1$

Como $\ln 1=0$:

$A=\ln 10\approx \mathrm{2,30}$

El área limitada por la función y el eje de abscisas en $[1,10]$ es de $\ln 10\approx \mathrm{2,30}$ unidades cuadradas.