Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Una planta de carburantes analiza la cantidad de gasolina, medida en miles de litros, almacenada en el nuevo depósito instalado, que viene dada por $f(t)$, donde $t$ es el tiempo (en horas):

$f(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{3}{4}}{t}^2+2& \text{si }0\le t\le 2\\ {\displaystyle \frac{15}{t+1}}& \text{si }t>2\end{array}$

Aplicar el concepto de límite para estudiar si la función es continua. (1.5 puntos)

La función está definida a trozos en $[0,+\mathrm{\infty })$. En cada trozo por separado es continua:

$f(t)={\displaystyle \frac{3}{4}}{t}^2+2$ es polinómica, luego continua en $[0,2]$.

$f(t)={\displaystyle \frac{15}{t+1}}$ es una función racional que solo se anularía el denominador en $t=-1$, valor que no pertenece a $(2,+\mathrm{\infty })$; por tanto es continua en $(2,+\mathrm{\infty })$.

El único punto que hay que estudiar es el de empalme, $t=2$. Se comprueban las tres condiciones de la continuidad.

Valor de la función. Como $t=2$ cumple $0\le t\le 2$, se usa el primer trozo:

$f(2)={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 2^2+2=3+2=5$

Límite por la izquierda:

${\lim }_{t\to 2^{-}}f(t)={\lim }_{t\to 2^{-}}({\displaystyle \frac{3}{4}}{t}^2+2)={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 4+2=5$

Límite por la derecha:

${\lim }_{t\to 2^{+}}f(t)={\lim }_{t\to 2^{+}}{\displaystyle \frac{15}{t+1}}={\displaystyle \frac{15}{2+1}}={\displaystyle \frac{15}{3}}=5$

Los dos límites laterales existen y valen lo mismo, de modo que existe el límite:

${\lim }_{t\to 2}f(t)=5=f(2)$

La función es continua en $t=2$ y, por tanto, en todo su dominio $[0,+\mathrm{\infty })$: la cantidad de gasolina almacenada evoluciona sin saltos.