Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

La temperatura (en grados centígrados) del agua del mar Mediterráneo ha cambiado con el tiempo según la función $T(x)$, donde $x$ representa los años transcurridos desde el inicio de 2010:

$T(x)=\{\begin{array}{ll}22+5.5x-1.5x^2& \text{si }0\le x<3\\ {\displaystyle \frac{52x^2+3x+23}{2x^2+2}}& \text{si }x\ge 3\end{array}$

a) Estudiar si la temperatura del agua ha cambiado de forma continua a lo largo de los años.
b) Hallar la temperatura del agua al inicio del año 2014 y razonar cuál se prevé que será la temperatura del agua dentro de muchos años.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{temperatura}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{cambiado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}$

La función está definida a trozos para $x\ge 0$. En cada trozo por separado es continua:

$T(x)=22+\mathrm{5,5}x-\mathrm{1,5}{x}^2$ es polinómica, luego continua en $[0,3)$.

$T(x)={\displaystyle \frac{52x^2+3x+23}{2x^2+2}}$ es racional y su denominador $2x^2+2$ no se anula nunca, porque $2x^2+2\ge 2>0$; es continua en $[3,+\mathrm{\infty })$.

El único punto dudoso es $x=3$. Se comprueban las condiciones de continuidad.

Límite por la izquierda:

${\lim }_{x\to 3^{-}}T(x)=22+\mathrm{5,5}\cdot 3-\mathrm{1,5}\cdot 9=22+\mathrm{16,5}-\mathrm{13,5}=25$

Valor de la función y límite por la derecha. Como $x=3$ cumple $x\ge 3$, se usa el segundo trozo:

$T(3)={\displaystyle \frac{52\cdot 9+3\cdot 3+23}{2\cdot 9+2}}={\displaystyle \frac{468+9+23}{20}}={\displaystyle \frac{500}{20}}=25$

Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función:

${\lim }_{x\to 3}T(x)=25=T(3)$

La temperatura del agua ha cambiado de forma continua: la función es continua en $x=3$ y, por tanto, en todo su dominio.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{temperatura}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{inicio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{2014}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{razonar}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{prev}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{temperatura}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{muchos}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}$

Como $x$ cuenta los años transcurridos desde el inicio de 2010, al inicio de 2014 se tiene $x=4$, que cae en el segundo trozo:

$T(4)={\displaystyle \frac{52\cdot 16+3\cdot 4+23}{2\cdot 16+2}}={\displaystyle \frac{832+12+23}{34}}={\displaystyle \frac{867}{34}}=\mathrm{25,5}$

Al inicio de 2014 la temperatura del agua era de 25,5 grados centígrados.

Para saber qué ocurre dentro de muchos años se calcula el límite en el infinito. Es un cociente de polinomios del mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}T(x)={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{52x^2+3x+23}{2x^2+2}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{52+{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{23}{x^2}}}{2+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}}={\displaystyle \frac{52}{2}}=26$

La recta $y=26$ es una asíntota horizontal de la función: a largo plazo la temperatura del agua se estabiliza en 26 grados centígrados, sin llegar a superarlos.