Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}4x-2& \text{si }x\le 3\\ (x-4{)}^2-1& \text{si }x>3\end{array}$

Estudiar la continuidad de la función $f(x)$ en todo su dominio de definición. (1.5 puntos)

La función está definida a trozos y su dominio es todo $\mathbb{R}$, porque los dos trozos son polinomios y entre los dos cubren la recta real.

En cada trozo por separado la función es continua por ser polinómica:

$f(x)=4x-2$ es continua en $(-\mathrm{\infty },3)$.

$f(x)=(x-4{)}^2-1$ es continua en $(3,+\mathrm{\infty })$.

El único punto dudoso es el de empalme, $x=3$, donde hay que comprobar las tres condiciones de la continuidad.

Valor de la función. Como en $x=3$ se cumple $x\le 3$, se usa el primer trozo:

$f(3)=4\cdot 3-2=10$

Límite por la izquierda:

${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{-}}(4x-2)=4\cdot 3-2=10$

Límite por la derecha:

${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{+}}((x-4{)}^2-1)=(3-4{)}^2-1=1-1=0$

Los dos límites laterales son finitos pero distintos:

${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=10\mathrm{\ne }0={\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)$

Al no existir el límite en $x=3$, la función no es continua en ese punto: presenta una discontinuidad de salto finito, de amplitud

$\mathrm{\mid }10-0\mathrm{\mid }=10$

La función es continua en $\mathbb{R}-\{3\}$ y en $x=3$ tiene una discontinuidad de salto finito de 10 unidades.