Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sean las funciones $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+4x+3}{2x-2}}$ y $g(x)=2x^2+ax+1$.

i) Estudie la continuidad de la función $f(x)$ y, en su caso, indique el tipo de discontinuidad. (3 puntos)

ii) Calcule el valor del parámetro $a$ para que $g(x)$ tenga un mínimo en $x=1\mathrm{/}2$. (3 puntos)

iii) Calcule $g^{\mathrm{\prime }}(1)$ aplicando la definición de derivada, para el valor del parámetro $a=-1$. (4 puntos)

La función es un cociente de polinomios, así que es continua en todos los puntos en los que no se anula el denominador.

$2x-2=0\Rightarrow x=1$

El dominio es $\mathbb{R}-\{1\}$. En $x=1$ el numerador no se anula:

$1^2+4\cdot 1+3=8\mathrm{\ne }0$

de modo que los límites laterales son infinitos.

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{x^2+4x+3}{2x-2}}={\displaystyle \frac{8}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{x^2+4x+3}{2x-2}}={\displaystyle \frac{8}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

La función es continua en $\mathbb{R}-\{1\}$ y presenta en $x=1$ una discontinuidad de salto infinito: la recta $x=1$ es asíntota vertical.



En un extremo relativo la derivada se anula, así que se deriva y se impone esa condición.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=4x+a$

$g^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0\Rightarrow 4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+a=0\Rightarrow 2+a=0\Rightarrow a=-2$

Se comprueba que efectivamente es un mínimo con la segunda derivada:

$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=4>0$

Al ser la segunda derivada positiva, la función presenta un mínimo. El parámetro vale $a=-2$.



Con $a=-1$ la función es

$g(x)=2x^2-x+1$

La definición de derivada en un punto es

$g^{\mathrm{\prime }}(a)={\lim }_{h\to 0}{\displaystyle \frac{g(a+h)-g(a)}{h}}$

Se calculan las dos imágenes que intervienen:

$g(1)=2-1+1=2$

$g(1+h)=2(1+h{)}^2-(1+h)+1=2(1+2h+h^2)-1-h+1$

$g(1+h)=2+4h+2h^2-h=2+3h+2h^2$

Se forma el cociente incremental y se simplifica:

${\displaystyle \frac{g(1+h)-g(1)}{h}}={\displaystyle \frac{2+3h+2h^2-2}{h}}={\displaystyle \frac{h(3+2h)}{h}}=3+2h$

$g^{\mathrm{\prime }}(1)={\lim }_{h\to 0}(3+2h)=3$

La derivada de $g(x)$ en $x=1$ vale $3$.