Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En un centro de bachillerato aprobaron la prueba de acceso a la universidad 112 estudiantes de los 140 que se presentaron. En un segundo centro aprobaron la prueba el 60% de los 110 estudiantes presentados.

i) Se selecciona un estudiante al azar. Calcule la probabilidad de que haya aprobado. (3 puntos)

ii) Se selecciona un estudiante al azar. Calcule la probabilidad de que proceda del segundo centro, sabiendo que el estudiante ha suspendido. (4 puntos)

iii) Se seleccionan tres estudiantes al azar sin reemplazamiento. Calcule la probabilidad de que pertenezcan al mismo centro. (3 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{selecciona}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{aprobado.}}(3\text{ puntos})$

Se nombran los sucesos $C_1\equiv$ pertenecer al primer centro, $C_2\equiv$ pertenecer al segundo centro y $A\equiv$ haber aprobado.

En el segundo centro aprobó el 60 % de los 110 presentados, es decir, $\mathrm{0,60}\cdot 110=66$ estudiantes. En total se presentaron $140+110=250$ estudiantes.

Se hace un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(A)=P(C_1)P(A\mathrm{/}{C}_1)+P(C_2)P(A\mathrm{/}{C}_2)={\displaystyle \frac{140}{250}}\cdot {\displaystyle \frac{112}{140}}+{\displaystyle \frac{110}{250}}\cdot \mathrm{0,60}$

$P(A)={\displaystyle \frac{112+66}{250}}={\displaystyle \frac{178}{250}}={\displaystyle \frac{89}{125}}=\mathrm{0,712}$

La probabilidad de que el estudiante elegido haya aprobado es $\mathrm{0,712}$.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{selecciona}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{proceda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{centro,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{suspendido.}}(4\text{ puntos})$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes.

$P(C_2\mathrm{/}\bar{A})={\displaystyle \frac{P(C_2)\cdot P(\bar{A}\mathrm{/}{C}_2)}{P(\bar{A})}}$

Los suspensos son $140-112=28$ en el primer centro y $110-66=44$ en el segundo, en total 72 sobre 250.

$P(\bar{A})=1-\mathrm{0,712}=\mathrm{0,288}={\displaystyle \frac{72}{250}}$

$P(C_2\mathrm{/}\bar{A})={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{44}{250}}}{{\displaystyle \frac{72}{250}}}}={\displaystyle \frac{44}{72}}={\displaystyle \frac{11}{18}}\approx \mathrm{0,6111}$

Sabiendo que el estudiante ha suspendido, la probabilidad de que proceda del segundo centro es ${\displaystyle \frac{11}{18}}\approx \mathrm{0,6111}$.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{seleccionan}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{reemplazamiento.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pertenezcan}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{centro.}}(3\text{ puntos})$

Se eligen tres estudiantes de los 250 y el orden no importa, así que se cuentan combinaciones.

$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{250}{3}\right)={\displaystyle \frac{250\cdot 249\cdot 248}{6}}=2573000$

Los casos favorables son los que salen los tres del primer centro más los que salen los tres del segundo, dos sucesos incompatibles.

$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{140}{3}\right)={\displaystyle \frac{140\cdot 139\cdot 138}{6}}=447580$

$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{110}{3}\right)={\displaystyle \frac{110\cdot 109\cdot 108}{6}}=215820$

$P(\text{mismo centro})={\displaystyle \frac{447580+215820}{2573000}}={\displaystyle \frac{663400}{2573000}}={\displaystyle \frac{107}{415}}$

La probabilidad de que los tres estudiantes pertenezcan al mismo centro es ${\displaystyle \frac{107}{415}}\approx \mathrm{0,2578}$.