Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Se ha realizado un estudio sobre los estudiantes de un Instituto de Educación Secundaria. De los 1000 estudiantes matriculados en el instituto, 450 son hombres, de los cuales un 12 % son repetidores, mientras que, entre las mujeres, hay un 10 % de repetidoras.

a) Escribir la información anterior en términos de sucesos y sus probabilidades asociadas. Hallar el porcentaje de estudiantes repetidores en el instituto. (1 punto)
b) Si se selecciona una persona repetidora, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escribir}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{informaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{probabilidades}}\mathbf{\text{asociadas.}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{repetidores}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instituto.}}(1\text{ punto})$

Se elige un estudiante al azar entre los 1000 matriculados y se nombran los sucesos:

$H\equiv$ el estudiante elegido es hombre,
$M\equiv$ el estudiante elegido es mujer,
$R\equiv$ el estudiante elegido es repetidor.

De los 1000 estudiantes, 450 son hombres y los 550 restantes, mujeres:

$P(H)={\displaystyle \frac{450}{1000}}=\mathrm{0,45}$

$P(M)={\displaystyle \frac{550}{1000}}=\mathrm{0,55}$

El 12 % de los hombres y el 10 % de las mujeres son repetidores:

$P(R\mathrm{/}H)=\mathrm{0,12}$

$P(R\mathrm{/}M)=\mathrm{0,10}$

Los sucesos $H$ y $M$ forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(R)=P(H)\cdot P(R\mathrm{/}H)+P(M)\cdot P(R\mathrm{/}M)$

$P(R)=\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,12}+\mathrm{0,55}\cdot \mathrm{0,10}=\mathrm{0,054}+\mathrm{0,055}=\mathrm{0,109}$

En el instituto hay un 10,9 % de estudiantes repetidores.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{selecciona}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{repetidora,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{hombre?}}(1\text{ punto})$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, de modo que se aplica el teorema de Bayes.

$P(H\mathrm{/}R)={\displaystyle \frac{P(H)\cdot P(R\mathrm{/}H)}{P(R)}}$

El denominador es la probabilidad total del apartado anterior:

$P(H\mathrm{/}R)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,12}}{\mathrm{0,109}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,054}}{\mathrm{0,109}}}={\displaystyle \frac{54}{109}}\approx \mathrm{0,4954}$

Si el estudiante elegido es repetidor, la probabilidad de que sea hombre es ${\displaystyle \frac{54}{109}}\approx \mathrm{0,4954}$, algo menos de la mitad.