Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Se ha realizado un estudio sobre los estudiantes de un Instituto de Educación Secundaria. El equipo de profesores de Matemáticas Aplicadas a la Ciencias Sociales II ha calculado que el tiempo invertido por los estudiantes en hacer un examen sigue una distribución normal de media 100 minutos y desviación típica igual a 10 minutos.

a) ¿Qué proporción de estudiantes realiza el examen en más de dos horas? (1 punto)
b) ¿Cuánto tiempo tarda un estudiante en hacer el examen si el 88.1 % de sus compañeros tardan menos que él? (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{examen}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{horas?}}(1\text{ punto})$

Se llama $X$ al tiempo, en minutos, que tarda un estudiante en hacer el examen. Por el enunciado

$X\sim N(100,10)$

Dos horas son 120 minutos, así que se pide $P(X>120)$. Se tipifica con $Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}$:

$P(X>120)=P(Z>{\displaystyle \frac{120-100}{10}})=P(Z>2)$



La tabla da la probabilidad acumulada a la izquierda, así que se pasa al suceso contrario:

$P(Z>2)=1-P(Z\le 2)=1-\mathrm{0,9772}=\mathrm{0,0228}$

Realiza el examen en más de dos horas el 2,28 % de los estudiantes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{examen}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{88,1}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{eros}}\mathbf{\text{tardan}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{que}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{l?}}(1\text{ punto})$

Si el 88,1 % de sus compañeros tardan menos que él, su tiempo $x_0$ deja por debajo esa proporción:

$P(X<x_0)=\mathrm{0,881}$

Se tipifica:

$P(Z<{\displaystyle \frac{x_0-100}{10}})=\mathrm{0,881}$



En la tabla de la normal tipificada, el valor 0,8810 corresponde a $z=\mathrm{1,18}$:

${\displaystyle \frac{x_0-100}{10}}=\mathrm{1,18}\Rightarrow x_0=100+\mathrm{11,8}=\mathrm{111,8}$

Ese estudiante tarda 111,8 minutos, algo menos de una hora y cincuenta y dos minutos.