Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Se ha publicado una encuesta sobre hábitos deportivos según la cual seis de cada diez personas practicaron deporte en el último año, ya sea de forma periódica u ocasional, en su tiempo libre. Por otra parte, entre las personas que practicaban deporte, el 85 % presenció, al menos una vez al año (en vivo o a través de medios audiovisuales) un evento deportivo mientras que, entre las que no practicaban deporte, fue el 70 %.

a) Definir correctamente los sucesos y escribir la información anterior en términos de probabilidad. (1 punto)
b) Se selecciona una persona al azar y resulta que no ha presenciado ningún evento deportivo. Determinar si es más probable que haya practicado deporte o que no lo haya hecho. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Definir}}\mathbf{\text{correctamente}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{escribir}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{informaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{probabilidad.}}(1\text{ punto})$

Se elige una persona al azar de la encuesta y se nombran los sucesos:

$D\equiv$ la persona elegida practicó deporte en el último año,
$\bar{D}\equiv$ la persona elegida no practicó deporte,
$E\equiv$ la persona elegida presenció algún evento deportivo.

Seis de cada diez personas practicaron deporte:

$P(D)={\displaystyle \frac{6}{10}}=\mathrm{0,6}$

$P(\bar{D})=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$

Entre las que practicaban deporte presenció un evento el 85 %, y entre las que no, el 70 %:

$P(E\mathrm{/}D)=\mathrm{0,85}$

$P(E\mathrm{/}\bar{D})=\mathrm{0,70}$

Los sucesos $D$ y $\bar{D}$ forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{selecciona}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resulta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{presenciado}}\mathbf{\text{ning}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{evento}}\mathbf{\text{deportivo.}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{probable}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{practicado}}\mathbf{\text{deporte}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{hecho.}}(1\text{ punto})$

Hay que comparar $P(D\mathrm{/}\bar{E})$ con $P(\bar{D}\mathrm{/}\bar{E})$, dos probabilidades a posteriori que se calculan con el teorema de Bayes. Antes hace falta la probabilidad total de no presenciar ningún evento:

$P(\bar{E})=P(D)\cdot P(\bar{E}\mathrm{/}D)+P(\bar{D})\cdot P(\bar{E}\mathrm{/}\bar{D})$

$P(\bar{E})=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,15}+\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,30}=\mathrm{0,09}+\mathrm{0,12}=\mathrm{0,21}$

Ahora las dos probabilidades pedidas:

$P(D\mathrm{/}\bar{E})={\displaystyle \frac{P(D)\cdot P(\bar{E}\mathrm{/}D)}{P(\bar{E})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}}{\mathrm{0,21}}}={\displaystyle \frac{3}{7}}\approx \mathrm{0,4286}$

$P(\bar{D}\mathrm{/}\bar{E})={\displaystyle \frac{P(\bar{D})\cdot P(\bar{E}\mathrm{/}\bar{D})}{P(\bar{E})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{0,21}}}={\displaystyle \frac{4}{7}}\approx \mathrm{0,5714}$

Las dos suman 1, como debe ser. Como ${\displaystyle \frac{4}{7}}>{\displaystyle \frac{3}{7}}$, es más probable que la persona elegida NO haya practicado deporte.