Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El peso (en toneladas) de los contenedores que transporta una empresa de servicios de transporte marítimo puede aproximarse a una distribución normal con desviación de 3 toneladas.

i) Se realizó un estudio tomando una muestra aleatoria simple de contenedores y se calculó un intervalo de confianza al 97% para la media poblacional, con un error máximo de 0.651. Calcule el tamaño de la muestra que se tomó en ese estudio. (5 puntos)

ii) Se decide realizar otro estudio y se selecciona una muestra de contenedores, obteniéndose los siguientes pesos (en toneladas): 20.25, 17.5, 21.8, 15.7, 14.6, 17.2, 23.1, 11.7, 18.3. Construya un intervalo de confianza para el peso medio de los contenedores, con un nivel de confianza del 93%. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{realiz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudio}}\mathbf{\text{tomando}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{simple}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{contenedores}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{calcul}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{poblacional,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0.651.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{tom}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{estudio.}}(5\text{ puntos})$

El error máximo de un intervalo de confianza para la media con desviación típica poblacional conocida es

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$

Con un nivel de confianza del 97 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,03}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,015}$ y

$P(Z<z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,015}=\mathrm{0,985}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$



Se despeja el tamaño muestral con $\sigma =3$ y $E=\mathrm{0,651}$:

$\sqrt{n}={\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot \sigma }{E}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,17}\cdot 3}{\mathrm{0,651}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,51}}{\mathrm{0,651}}}=10$

$n={10}^2=100$

En ese estudio se tomó una muestra de 100 contenedores.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{decide}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{otro}}\mathbf{\text{estudio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{selecciona}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{contenedores,}}\mathbf{\text{obteni}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ndose}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{pesos}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{toneladas):}}\mathbf{\text{20.25,}}\mathbf{\text{17.5,}}\mathbf{\text{21.8,}}\mathbf{\text{15.7,}}\mathbf{\text{14.6,}}\mathbf{\text{17.2,}}\mathbf{\text{23.1,}}\mathbf{\text{11.7,}}\mathbf{\text{18.3.}}\mathbf{\text{Construya}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{contenedores,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{93}}\mathbf{\text{\%.}}(5\text{ puntos})$

Se calcula la media de los nueve pesos de la muestra:

$\bar{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{20,25}+\mathrm{17,5}+\mathrm{21,8}+\mathrm{15,7}+\mathrm{14,6}+\mathrm{17,2}+\mathrm{23,1}+\mathrm{11,7}+\mathrm{18,3}}{9}}={\displaystyle \frac{\mathrm{160,15}}{9}}=\mathrm{17,79}$

Con un nivel de confianza del 93 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,07}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,035}$ y

$P(Z<z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,035}=\mathrm{0,965}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,81}$



$E=\mathrm{1,81}\cdot {\displaystyle \frac{3}{\sqrt{9}}}=\mathrm{1,81}\cdot 1=\mathrm{1,81}$

Los extremos del intervalo son:

$\mathrm{17,79}-\mathrm{1,81}=\mathrm{15,98}$

$\mathrm{17,79}+\mathrm{1,81}=\mathrm{19,60}$

El intervalo de confianza al 93 % para el peso medio de los contenedores es $(\mathrm{15,98};\mathrm{19,60})$ toneladas.