Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema con los parámetros $a$ y $b$:

$\{\begin{array}{l}ax+2y+z=1\\ x+by+2z=4\\ 3x+y+bz=5\end{array}$

Si $b=-1$, clasificar el sistema en función de los distintos valores del parámetro $a$. (1.5 puntos)

Con $b=-1$ el sistema queda

$\{\begin{array}{l}ax+2y+z=1\\ x-y+2z=4\\ 3x+y-z=5\end{array}$

Se clasifica por el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. Las matrices son

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 2& 1\\ 1& -1& 2\\ 3& 1& -1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}a& 2& 1& 1\\ 1& -1& 2& 4\\ 3& 1& -1& 5\end{array}\right)$

Se calcula el determinante de $A$ desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& 2& 1\\ 1& -1& 2\\ 3& 1& -1\end{array}\mid =a\mid \begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\mid +\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a(1-2)-2(-1-6)+(1+3)=-a+14+4=18-a$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow 18-a=0\Rightarrow a=18$

Primer caso: $a\mathrm{\ne }18$.

Entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3$, que coincide con el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Segundo caso: $a=18$.

Ahora $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$, así que $\text{rg}(A)<3$. Hay un menor de orden dos no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 1\end{array}\mid =1+3=4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{rg}(A)=2$

Para el rango de la ampliada se orla ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}18& 2& 1\\ 1& -1& 4\\ 3& 1& 5\end{array}\mid =18(-5-4)-2(5-12)+(1+3)=-162+14+4=-144\mathrm{\ne }0$

Luego $\text{rg}(A^{\ast })=3\mathrm{\ne }2=\text{rg}(A)$ y el sistema es incompatible.

Con $b=-1$, el sistema es compatible determinado para todo $a\mathrm{\ne }18$ e incompatible para $a=18$.