Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

En una pequeña localidad hay 25 candidatos para realizar una actividad de voluntariado, de los que el 60% son estudiantes, el 32% son jubilados y el resto trabajadores. Se seleccionan al azar tres candidatos distintos. Calcule:

i) La probabilidad de que todos ellos sean jubilados. (3 puntos)

ii) La probabilidad de que sean dos estudiantes y un trabajador. (3.5 puntos)

iii) La probabilidad de que alguno de ellos sea trabajador. (3.5 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{jubilados.}}(3\text{ puntos})$

Se reparten primero los 25 candidatos:

$\mathrm{0,60}\cdot 25=15$ estudiantes,

$\mathrm{0,32}\cdot 25=8$ jubilados,

$25-15-8=2$ trabajadores.

Se eligen tres candidatos distintos y el orden no importa, así que se cuentan combinaciones. El número total de casos posibles es

$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{25}{3}\right)={\displaystyle \frac{25\cdot 24\cdot 23}{6}}=2300$

Los casos favorables son las formas de elegir 3 de los 8 jubilados:

$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{3}\right)={\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6}{6}}=56$

$P(\text{los tres jubilados})={\displaystyle \frac{56}{2300}}={\displaystyle \frac{14}{575}}\approx \mathrm{0,0243}$

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trabajador.}}(\mathrm{3,5}\text{ puntos})$

Los casos favorables son elegir 2 de los 15 estudiantes y 1 de los 2 trabajadores.

$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{15}{2}\right)={\displaystyle \frac{15\cdot 14}{2}}=105;\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{1}\right)=2$

$P(\text{dos estudiantes y un trabajador})={\displaystyle \frac{105\cdot 2}{2300}}={\displaystyle \frac{210}{2300}}={\displaystyle \frac{21}{230}}\approx \mathrm{0,0913}$

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{alguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{trabajador.}}(\mathrm{3,5}\text{ puntos})$

El suceso «alguno es trabajador» es el contrario de «ninguno es trabajador», que se cuenta eligiendo los tres entre los $25-2=23$ candidatos que no lo son.

$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{23}{3}\right)={\displaystyle \frac{23\cdot 22\cdot 21}{6}}=1771$

$P(\text{ninguno trabajador})={\displaystyle \frac{1771}{2300}}$

$P(\text{alguno trabajador})=1-{\displaystyle \frac{1771}{2300}}={\displaystyle \frac{529}{2300}}={\displaystyle \frac{23}{100}}=\mathrm{0,23}$

La probabilidad de que alguno de los tres elegidos sea trabajador es $\mathrm{0,23}$.