Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Un estudio concluye que el tiempo que tarda un fumador en dejar de fumar se ajusta a una distribución normal. Con una muestra de 144 exfumadores, se ha calculado el siguiente intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio (en meses) en dejar de fumar: $[9.58875,10.41125]$.

i) Calcule la varianza poblacional y calcule el tiempo medio en dejar de fumar para la muestra de los 144 exfumadores. (5 puntos)

ii) Construya un intervalo de confianza al 94% para el tiempo medio en dejar de fumar. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{varianza}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dejar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fumar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{144}}\mathbf{\text{exfumadores.}}(5\text{ puntos})$

El intervalo de confianza para la media es de la forma $(\bar{x}-E,\bar{x}+E)$, así que la media muestral es su centro:

$\bar{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,58875}+\mathrm{10,41125}}{2}}={\displaystyle \frac{20}{2}}=10$

y el error máximo su semiamplitud:

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{10,41125}-\mathrm{9,58875}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8225}}{2}}=\mathrm{0,41125}$

Con un nivel de confianza del 90 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,10}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,05}$ y

$P(Z<z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}$

Ese valor cae entre dos filas de la tabla, $P(Z<\mathrm{1,64})=\mathrm{0,9495}$ y $P(Z<\mathrm{1,65})=\mathrm{0,9505}$, así que se toma el punto medio $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$.



De la expresión del error máximo se despeja la desviación típica:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \mathrm{0,41125}=\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{144}}}=\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{12}}$

$\sigma ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,41125}\cdot 12}{\mathrm{1,645}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,935}}{\mathrm{1,645}}}=3$

${\sigma }^2=3^2=9$

La varianza poblacional es de $9$ meses² y el tiempo medio de la muestra es de 10 meses.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Construya}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{94}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dejar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fumar.}}(5\text{ puntos})$

Se mantienen la media muestral $\bar{x}=10$, la desviación típica $\sigma =3$ y el tamaño $n=144$, y solo cambia el valor crítico.

Con un nivel de confianza del 94 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,06}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,03}$ y

$P(Z<z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,03}=\mathrm{0,97}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,88}$



$E=\mathrm{1,88}\cdot {\displaystyle \frac{3}{\sqrt{144}}}=\mathrm{1,88}\cdot {\displaystyle \frac{3}{12}}=\mathrm{1,88}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,47}$

Los extremos del intervalo son:

$10-\mathrm{0,47}=\mathrm{9,53}$

$10+\mathrm{0,47}=\mathrm{10,47}$

El intervalo de confianza al 94 % para el tiempo medio en dejar de fumar es $(\mathrm{9,53};\mathrm{10,47})$ meses. Es más ancho que el del 90 %, como corresponde a un nivel de confianza mayor sobre la misma muestra.