Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Sean las funciones $f(x)=-x^2-9x+10$ y $g(x)=2x^2-x^3$.

i) Determine, para la función $g(x)$, los puntos de corte con los ejes, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. (6 puntos)

ii) Determine el mínimo de la función $h(x)=f(x)-g(x)$. (4 puntos)

Corte con el eje $OY$: se hace $x=0$.

$g(0)=0\Rightarrow (0,0)$

Cortes con el eje $OX$: se hace $g(x)=0$.

$2x^2-x^3=0\Rightarrow x^2(2-x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

Los puntos de corte son $(0,0)$ y $(2,0)$.

La curvatura la da el signo de la segunda derivada.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=4x-3x^2$

$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=4-6x$

$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Se estudia el signo a un lado y a otro:

$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=4>0$, la función es convexa.

$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=-2<0$, la función es cóncava.



La función es convexa en $(-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{2}{3}})$ y cóncava en $({\displaystyle \frac{2}{3}},+\mathrm{\infty })$.

Como la segunda derivada cambia de signo en $x={\displaystyle \frac{2}{3}}$, ahí hay un punto de inflexión:

$g\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)=2\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}-{\displaystyle \frac{8}{27}}={\displaystyle \frac{24-8}{27}}={\displaystyle \frac{16}{27}}$

El punto de inflexión es $({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{16}{27}})$.



Se construye primero la función $h(x)$:

$h(x)=(-x^2-9x+10)-(2x^2-x^3)=x^3-3x^2-9x+10$

Se deriva y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}$

Se recurre a la segunda derivada para clasificarlos:

$h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-6$

$h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=-12<0\Rightarrow$ máximo relativo en $x=-1$.

$h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=12>0\Rightarrow$ mínimo relativo en $x=3$.



Se calcula la ordenada del mínimo:

$h(3)=27-27-27+10=-17$

La función $h(x)$ presenta un mínimo en el punto $(3,-17)$.