Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una oficina necesita adquirir material de papelería. Cuenta con un presupuesto de 600 euros y necesita archivadores, cuadernos y carpetas. Los precios de cada artículo por unidad son de 6, 3 y 2 euros respectivamente. El número de cuadernos va a ser la cuarta parte que el de carpetas y el número total de archivadores y de carpetas será de 165. [2,5 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular las unidades que deben comprarse de cada artículo si se pretende agotar el presupuesto disponible. [0,9 puntos]

b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]

c) Resuélvalo. [0,8 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permite}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{comprarse}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{art}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{pretende}}\mathbf{\text{agotar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{presupuesto}}\mathbf{\text{disponible.}}\mathbf{\text{[0,9}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de archivadores, $y$ al de cuadernos y $z$ al de carpetas.

i) Se agota el presupuesto de 600 euros, a 6, 3 y 2 euros la unidad:

$6x+3y+2z=600$

ii) El número de cuadernos es la cuarta parte del de carpetas:

$y={\displaystyle \frac{z}{4}}\Rightarrow 4y-z=0$

iii) El número total de archivadores y carpetas es 165:

$x+z=165$

El sistema pedido es

$\{\begin{array}{l}6x+3y+2z=600\\ 4y-z=0\\ x+z=165\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Analice}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compatibilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que se aplica el teorema de Rouché-Frobenius a partir del determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}6& 3& 2\\ 0& 4& -1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

Se desarrolla por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(24-3+0)-(8+0+0)=21-8=13$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=13\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado: hay una única compra que agota el presupuesto.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La segunda ecuación da $z$ en función de $y$ y la tercera da $x$ en función de $z$; se encadenan las dos sustituciones.

$z=4y,x=165-z=165-4y$

Se llevan a la primera ecuación.

$6(165-4y)+3y+2\cdot 4y=600$

$990-24y+3y+8y=600\Rightarrow -13y=-390\Rightarrow y=30$

$z=4\cdot 30=120,x=165-120=45$

Se comprueba el presupuesto: $6\cdot 45+3\cdot 30+2\cdot 120=270+90+240=600$ euros.

Deben comprarse 45 archivadores, 30 cuadernos y 120 carpetas.